Cho hai số dương x,y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}=6\)

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức x+y

Cho số thực x. Với x\(\ge1\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+5\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}\)

Cho hai số thực a,b khác 0 thõa mãn \(2a^2+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{1}{a^2}=4\)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=ab+2019

Câu 3:Cho Δ ABC và O là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác đó.Các đường thẳng AO;BO;CO cắt BC;AC;AB lần lượt tại M;N;P.

a)CMR: \(\dfrac{OM}{AM}+\dfrac{ON}{BN}+\dfrac{OP}{CP}\) không phụ thuộc vào vị trí điểm O.

b)CMR: Trong ba tỉ số \(\dfrac{OA}{OM};\dfrac{OB}{ON};\dfrac{OC}{OP}\) có ít nhất một tỉ số không nhỏ hơn 2 và có ít nhất một tỉ số không lớn hơn 2.

chứng minh BĐT : \(\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\) với k∈N\(^{\cdot}\)

CMR với mọi số nguyên dương n, ta có \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+....+\sqrt{n}\le n.\sqrt{\dfrac{n+1}{2}}\)

CMR nếu x,y∈Z\(^+\) thì một trong hai BĐT sau là sai:

\(\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\) và \(\dfrac{1}{x\left(x+y\right)}\ge\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}\right)\)

Cho 3 số dương a,b,c và abc=1. Chứng minh \(\dfrac{b+c}{\sqrt{a}}+\dfrac{a+c}{\sqrt{b}}+\dfrac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)

Cho 3 số dương x,y,z và x+y+z=3

Chứng minh \(\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)

a, Cho a,b là số thực dương và ab<1. Chứng minh \(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\le\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}\)

b, Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn abc=1. Chứng minh \(\dfrac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\dfrac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)