1) Vì AO, BO là bán kính của (O)

⇒AO=BO ⇔ΔAOB cân tại A  

                ⇒\(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\)

Xét Δ OAH và Δ OBK, có:

OA=OB(cmt)

\(\widehat{OAH}=\widehat{OBK}\) (cmt)

AH=BK (gt)

⇒Δ OAH = Δ OBK (c.g.c)

⇒\(\widehat{AOH}=\widehat{BOK}\) ⇒ AD=BC ⇒ \(\stackrel\frown{AD}=\stackrel\frown{BC}\) (đpcm)

2) xét Δ HOK, có: OH=OK( do Δ OAH = Δ OBK )

⇒ Δ HOK cân tại O.⇒ \(\widehat{OKH}\) <90^o

                                    ⇔ \(\widehat{HKC}\) >90^o ( vì \(\widehat{OKH}\) và \(\widehat{HKC}\) kề bù)

 xét ΔHKC ,có: \(\widehat{HKC}\) >90^o ⇒ \(\widehat{HCK}\) > 90^o ⇒ HC> HK     

                                                                   ⇒ HC>AH (do HK=AH)

xét ΔOAH và Δ OCH, có:

OA=OC (vì là bán kính của (O) )

OH chung

HC>AH 

⇒\(\widehat{HOC}>\widehat{HOA}\) ⇒ DC>AD ⇒ \(\stackrel\frown{DC}>\stackrel\frown{AD}\) hay \(\stackrel\frown{AD}< \stackrel\frown{DC}\) (đpcm)

bạn tự vẽ hình nhé

vì AD là phân giác của \(\widehat{BAC}\) ⇒ \(\widehat{BAD}=\widehat{MAD}\) =\(\dfrac{\widehat{BAC}}{2}\)

a) xét ΔABD và ΔAMD, có:

AM=AB (gt)

\(\widehat{BAD}=\widehat{MAD}\) (cmt)

AD chung

⇒ ΔABD = ΔAMD (c.g.c) (đpcm)

b) Từ ΔABD = ΔAMD (cmt)

    ⇒ BD=DM( 2 cạnh t/ứng) (đpcm)

       \(\widehat{ABD}=\widehat{AMD}\) (2 góc t/ứng)(đpcm)

c) phần này có lẽ đề bài sai , phải là c/m Δ BDN =ΔMDC mới đúng.

vì \(\widehat{ABD}=\widehat{AMD}\) (cmt) ⇒ \(\widehat{DBN}=\widehat{DMC}\) ( do \(\widehat{ABD}\) và \(\widehat{DBN}\) là 2 góc kề bù; \(\widehat{AMD}\) và \(\widehat{DMC}\)là 2 góc kề bù)

vì \(\widehat{BDN}\) và \(\widehat{MDC}\) là 2 góc đối đỉnh⇒ ​​​\(\widehat{BDN}\)​ =\(\widehat{MDC}\)

Xét Δ BDN và ΔMDC, có:

\(\widehat{BDN}\) =\(\widehat{MDC}\)(cmt)

BD=DM (cmt)

\(\widehat{DBN}=\widehat{DMC}\) (cmt)

⇒Δ BDN = ΔMDC (g.c.g) (đpcm)

d) từ Δ BDN = ΔMDC (cmt) ⇒ BN=MC

mà AB=AM ⇒ AB+BN =AM+MC

                    ⇔AN=AC.⇒ Δ ANC cân tại A.

và AB=AM(gt) ⇒ ΔABM cân tại A

      mà AD là phân giác của \(\widehat{BAM}\) ⇒ AD vừa là phân giác vừa là đường cao của ΔABM⇔ AD ⊥ BM(đpcm)

    Vì  Δ ANC cân tại A (cmt) 

         AD là phân giác của \(\widehat{NAC}\) ⇒ AD vừa là phân giác vừa là đường cao của ΔACN.⇔ AD⊥CN.

                Mà AD⊥ BM⇒ BM//CN(đpcm)

bạn tự vẽ hình nha

vì \(\widehat{AMB}\) và \(\widehat{CMD}\) là 2 góc đối đỉnh

⇒\(\widehat{AMB}\) = \(\widehat{CMD}\)

Xét Δ AMB và Δ CMD, có:

\(\widehat{AMB}\) = \(\widehat{CMD}\) (cmt)

AM=MD (gt)

MA=MB( vì M là trung điểm BC)

⇒Δ AMB = Δ CMD (c.g.c)

⇒\(\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\) (2 góc tương ứng)

Mà đây là 2 góc so le trong

⇔AB // CD( đpcm)