a. Ta có : \(BC\perp SA;BC\perp AB\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow\left(SAB\right)\perp\left(SBC\right)\)

b.Dễ dàng c/m : \(AB\perp\left(SAD\right)\) \(\Rightarrow AB\perp SD\)

Lấy H là TĐ SD \(\Rightarrow MH\) // DC // AB 

\(\Delta SAD\) vuông cân tại A ; H là TĐ SD \(\Rightarrow AH\perp SD\)

Suy ra : \(SD\perp\left(ABH\right)\Rightarrow SD\perp\left(ABM\right)\Rightarrow\left(SCD\right)\perp\left(ABM\right)\left(đpcm\right)\)

\(2sin3x+2m=4\Leftrightarrow sin3x+m=2\Leftrightarrow m=2-sin3x\)

Có : \(-1\le sin3x\le1\Rightarrow1\le2-sin3x\le3\)  \(\Rightarrow1\le m\le3\)

a.\(-1\le cosx\le1\Rightarrow-4\le y=3cosx-1\le2\)

b.-1 \(\le sinx\le1\)\(\Rightarrow3\le y=5+2sinx\le7\)  

c.\(\sqrt{3-1}\le\sqrt{3+cos2x}\le\sqrt{3+1}\Rightarrow\sqrt{2}\le y\le2\)

d.\(y=\sqrt{5sinx-1}+2\le\sqrt{5.1-1}+2=4\)

\(y=\sqrt{5sinx-1}+2\ge2\) . " = " \(\Leftrightarrow sinx=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)+2k\pi\\x=\pi-arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)+2k\pi\end{matrix}\right.\)  ( k thuộc Z ) 

Ta có : \(a^4+7=a^4+1+6\ge2a^2+2\left(ab+bc+ac\right)=2\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

Suy ra : \(\dfrac{a}{\sqrt{a^4+7}}\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

CMTT : \(\dfrac{b}{\sqrt{b^4+7}}\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{b}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)};\dfrac{c}{\sqrt{c^4+7}}\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\dfrac{c}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)

\(K\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\right)=P\)  

\(P\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{b+a}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}\right)=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\)

" = " \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Ta có : \(y=\dfrac{x-1}{x+1}\Rightarrow y'=\dfrac{\left(x+1\right)-\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{2}{\left(x+1\right)^2}\)

Giả sử d' là tiếp tuyến của đths đã cho . Do d' // d : y = \(\dfrac{x-2}{2}\)

\(\Rightarrow d'\) có HSG = 1/2 \(\Rightarrow\dfrac{2}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow4=\left(x+1\right)^2\)  \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=2\\x+1=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\) 

Với x = 1 . PTTT d' : \(y=\dfrac{1}{2}\left(x-1\right)+0=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\)

Với x = -3 . PTTT d' : \(y=\dfrac{1}{2}\left(x+3\right)+2=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{7}{2}\)

\(f\left(x\right)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-4x+6\Rightarrow f'\left(x\right)=x^2-x-4\) 

\(\Rightarrow f''\left(x\right)=2x-1\) . f''(x) = 0 \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Suy ra : Tiếp tuyến của đths tại điểm có h/đ = 1/2 có HSG = f'(1/2) = \(\dfrac{-17}{4}\)

Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+1\right)x^5-2m^2x^3-4x+m^2+1\) liên tục trên R 

=> f(x) liên tục trên \(\left[-2;0\right];\left[0;1\right];\left[1;2\right]\)

Ta có : \(f\left(-2\right)=-15m^2-23< 0;f\left(0\right)=m^2+1>0;f\left(1\right)=-2< 0\)

\(f\left(2\right)=17m^2+25>0\)  .

Suy ra : \(f\left(-2\right).f\left(0\right)< 0;f\left(0\right).f\left(1\right)< 0;f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\)

Chứng tỏ : p/t đã cho luôn có ít nhất 1 no \(\in\left(-2;0\right)\)  ; 1 no \(\in\left(0;1\right)\) ; 1 no \(\in\left(1;2\right)\)

=> P/t luôn có ít nhất 3 no thực \(\forall m\left(đpcm\right)\)

\(y=sinx\Rightarrow y'=cosx;y''=-sinx;y'''=-cosx\)

Bằng quy nạp toán học ; ta c/m được : \(y^{\left(n\right)}sinx=sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)\)