Biết x₀ là một nghiệm của phương trình: \(x^4-\left(2+\sqrt{8}\right)x^2-\left(3+\sqrt{8}\right)=0\). Tính giá trị của biểu thức A=\(x^6-\left(2+2\sqrt{8}\right)x^4+\left(678+\sqrt{8}\right)x^2+8-670\sqrt{8}\)

Gia sử x, y là hai số thực phân biệt thỏa mãn: \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}=\frac{2}{xy+1}\). Hãy tính: S=\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{2}{xy+1}\)

Giả sử p, q là 2 số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức: \(p\left(p-1\right)=q\left(q^2-1\right)\)(*).

a) CMR tồn tại số nguyên dương k sao cho: \(p-1=kq\) ; \(q^2-1=kp\).

b)Tìm tất cả các số nguyên tố p; q thỏa mãn đẳng thức (*).

Với a, b là các số thực dương thỏa mãn ab+a+b=1. CMR: \(\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}=\frac{1+ab}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}\)

Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng \(a+b+2\sqrt{ab+c^2}\) không phải là số nguyên tố.

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\). Chứng minh \(\frac{x}{3-yz}+\frac{y}{3-zx}+\frac{z}{3-xy}\le\frac{3}{2}\)

Cho p làm 1 số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 2017-p³ chia hết cho 24.