Cho tam giác ABC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB; D là một điểm bất kỳ trên BC. Điểm P nằm trên BF sao cho DP//CF. Điểm Q nằm trên CE sao cho DQ//BE. Đoạn PQ cắt BE ở R và cắt CF ở S. Chứng minh RS=PQ/3

Cho tam giac abc vuong tai a. Ke ah vuong goc voi bc tai h. Tren tia doi cua tia ha lay diem d sao cho ha=hd.

a) chung minh tam giac ahd=tam giac dhc

b)tren tia dc lay diem k sao cho c la trung diem cua dk. Chung minh ak||bc

c) tu c ke duong thang song song voi ab cat ak tai m. Doan thang bm cat ac tai q. Chung minh am+cm>2mq

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A=\(\frac{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}{4x\sqrt{x}+4x}+\frac{4x\sqrt{x}+4x}{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}\)

Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn , M là trung điểm BC , AD là đường cao.

Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA' của

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

1/ Chứng minh : \(\widehat{EDC}=\widehat{BAE}\)

2/ Chứng minh : DE vuông góc với AC và MN là đường trung trực của DE .

(với N là trung điểm của AB)

3/ Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta DEF\)

Cho tam giác ABC cân ở C (góc C nhọn) , nội tiếp trong một đường tròn (O). Lấy bất kì

một điểm M trên cung nhỏ BC .

1/ Kẻ đường kính COK , chứng minh MK là tia phân giác của góc AMB .

2/ Trên tia AM lấy một điểm D sao cho BM = MD (M nằm giữa A và D) . Chứng minh MK

song song vói BD .

3/ Kéo dài CM cắt BD tại I , chứng minh :

a) I là trung điểm của BD .

b) MA+MB\(\le\)2AC

Cho x,y là hai số thực thỏa mãn y^3+3y^2+5y+3=11sqrt(9-x^2)-sqrt(9x^4-x^6). Tim giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức T=x-y+2018

Chứng tỏ rằng không có hai số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức x² + y² = 2012