Cho ΔABC vuông tại A, AB = a. Các đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Tính AC và BC theo a.

Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, AD là phân giác \(\widehat{HAC}\) (H, D ∈ BC), phân giác \(\widehat{ABC}\) cắt AD tại I.

a) Cm: I là trung điểm AD.

b) Giả sử \(AC^2-AB^2=AB.BC\). Cm: ΔDIH đều.

Cho ΔABC vuông tại A (BC = a; AB = c; AC = b) có đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CP đồng qui.

a) Cm: HB = b.

b) Tính b và c theo a.

Cho ΔABC đều cạnh a. Điểm Q di động trên AC và điểm P di động trên tia đối của tia CB sao cho AQ.BP = \(a^2\). Đường thẳng AP cắt BQ tại M. Cm: MA + MC = MB.

Cho ΔABC có 3 góc nhọn. Từ một điểm I thuộc miền trong tam giác kẻ IH, IK, IL lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Tìm vị trí điểm I sao cho \(AL^2+BH^2+CK^2\) nhỏ nhất.

Cho ΔABC vuông tại A. Từ một điểm M bất kỳ trong tam giác kẻ MH ⊥ BC, MJ ⊥ AC, MK ⊥ AB. Tìm vị trí của M sao cho tổng \(MH^2+MJ^2+MK^2\) nhỏ nhất.

Cho P là giao điểm 3 đường phân giác trong ΔABC. Đường thẳng qua P và vuông góc với CP cắt CA, CB tại M,N. Chứng minh rằng:

a) \(\frac{AM}{BN}=\frac{AP^2}{BP^2}\)

b) \(BC.AP^2+AC.BP^2+AB.CP^2=AB.BC.CA\)

c) Gọi D là hình chiếu của P trên BC. Giả sử AB.AC = 2BD.DC. Tính số đo \(\widehat{BAC}\)