Cho đường tròn (O;R) có cung \(sđ\stackrel\frown{AB}=30^0\) .

Tính độ dài đường tròn đường kính AB theo R.

Cho phương trình : \(x^2+2x+3k=0\) . Gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của phương trình. Không giải phương trình hãy tìm giá trị của k để:

\(a,x_1=-2x_2\)

\(b,x_1^2-x^2_2=20\)

Cho phương trình : \(x^2+2x+3k=0\) . Gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của phương trình. Không giải phương trình hãy tìm giá trị của k để:

\(a,x^2_1+x_2^2=10\)

\(b,x_1-x_2=14\)

Cho \(\Delta ABC\) có 3 góc nhọn. Vẽ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M đối xứng với H qua BC.

a, C/minh: tứ giác ABMC nội tiếp trong đường tròn (gọi đường tròn đó là (O))

b, C/minh: OA vuông góc với EF

c, Gọi Q là trung điểm AB. C/minh: EQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta EHC\)

d, BE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N và CF cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Tính GTBT \(T=\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CP}{CF}\)

Biết rằng \(m\ne0\) và phương trình \(mx^2+px+q=0\left(1\right)\) có 2 nghiệm dương \(x_1,x_2\) . C/minh:

a, P/trình: \(qx^2+px+m=0\) cũng có 2 nghiệm \(x_3;x_4\) đều dương

b, \(x_1+x_2+x_3+x_4\ge4\)

Cho phương trình (ẩn x) \(x^2-2\left(m+1\right)x+m-4=0\) (1)

a, Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt đều dương.

b, Gọi \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình (1). Tìm GTNN của biểu thức : \(M=\frac{x_1^2+x^2_2}{x_1\left(1-x_2\right)+x_2\left(1-x_1\right)}\)

Tứ giác ABCD có AB = BD nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại A cắt đường thẳng BC tại Q. Gọi R là giao điểm của đường thẳng AB và CD.

a, CMR: AQRC nội tiếp

b, C/minh: AD // QR