Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có \(A\left(8;6;-7\right),B\left(2;-1;4\right),C\left(0;-3;0\right),D\left(-8;-2;9\right)\)và đường thẳng \(\Delta:\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{-2}\). Mặt phẳng \(\left(P\right)\) chứa \(\Delta\) và cắt tứ diện ABCD thành 2 phần có thể tích bằng nhau, biết \(\left(P\right)\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(7;b;c\right)\). Tính \(S=b+c\).

A. 8

B. 11

C. 13

D. 9

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left(-2;1;3\right),B\left(3;-2;4\right)\); đường thẳng \(\Delta:\frac{x-1}{2}=\frac{y-6}{11}=\frac{z+1}{-4}\) và mặt phẳng \(\left(P\right):41x-6y+54z+49=0\). Đường thẳng \(\left(d\right)\) đi qua B, cắt \(\Delta\) và \(\left(P\right)\) lần lượt tại C và D sao cho thể tích của hai tứ diện ABCO và OACD bằng nhau, biết \(\left(d\right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left(4;b;c\right)\). Tính \(S=b+c\).

A. 11

B. 6

C. 9

D. 4

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d_1:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{-1}\); \(d_2:\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=2+t\\z=5\end{matrix}\right.\). Biết đường vuông góc chung của \(d_1\) và \(d_2\) cắt \(d_1\) tại \(A\left(a;b;c\right)\); tính \(S=a+b+c\).

A. 2

B. 5

C. 4

D. 8

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta:\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=-1-t\\z=-2+t\end{matrix}\right.,\left(t\in R\right)\); điểm \(M\left(1;2;-1\right)\) và mặt cầu \(\left(S\right):x^2+y^2+z^2-4x+10y+14z+64=0\). Gọi \(\Delta'\) là đường thẳng đi qua M, cắt \(\Delta\) tại A và cắt mặt cầu \(\left(S\right)\) tại B sao cho \(\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}\) (điểm B có hoành độ là số nguyên). Mặt phẳng trung trực đoạn AB có phương trình là:

A. \(2x+4y-4z-19=0\)

B. \(3x-6y-6z-62=0\)

C. \(2x-4y-4z-43=0\)

D. \(3x+6y-6z-31=0\)

Cho \(\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{5+5cos^2x+6sin2x}{\left(2sinx+3cosx\right)^2}dx=\frac{a\pi+b}{c}\) với a, b, c là các số nguyên dương. Tính \(T=a+b+c\).

A. 79

B. 36

C. 63

D. 69

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\left(P\right)\) là mặt phẳng chứa \(d:\frac{x-4}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+4}{-4}\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left(S\right):\left(x-3\right)^2+\left(y+3\right)^2+\left(z-1\right)^2=9\) . Khi đó mặt phẳng \(\left(P\right)\) cắt trục Oz tại điểm nào ?

A. \(\left(0;0;2\right)\)

B. \(\left(0;0;-2\right)\)

C. \(\left(0;0;-4\right)\)

D. \(\left(0;0;4\right)\)