Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{abc}+\dfrac{18\sqrt{3}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\ge\dfrac{81}{a+b+c}\)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng \(\forall M\in\left(O\right)\)khi và chỉ khi\(MA^2+MB^2+MC^2=2BC^2\)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Xác định vị trí của M thuộc đường tròn tâm O sao cho \(MA^2+MB^2-2MC^2\)đạt min, max

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng CD vuông góc với OE

Cho a, b, c > 0 và \(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}>2\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = abc

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1\). Tìm \(P_{min}=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\)

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{1+b^2\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{1+c^2\left(a+b\right)}\le\dfrac{1}{abc}\)

Cho a,b > 0, \(a+b\le1\). Tìm \(P_{min}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\).

Cho tam giác ABC vông tại A, I là trung điểm của đường cao AH. CMR: \(BC^2.\overrightarrow{IA}+AC^2.\overrightarrow{IB}+AB^2.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\).

Cho tam giác ABC, M là 1 điểm trong tam giác ABC. Đường thẳng AM cắt BC tại D, BM cắt CA tại E, CM cắt AB tại F. CMR nếu \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}\) thì M là trọng tâm tam giác ABC.