\(\Delta\)' = \(\left(m+4\right)^2-\left(m^2-8\right)\) = \(m^2+8m+16-m^2+8\) = \(8m+24\)

phương trình có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\) \(\Delta\) \(\ge\) 0 \(\Leftrightarrow\) \(8m+24\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(m\ge-3\)

b) ta có hệ phương trình có nghiệm (x,y)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{-2}{1}\) (đúng )

vậy hệ phương trình luôn có nghiệm (x,y)

thay m = -1 vào hệ phương trình

hệ phương trình \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=4\\2x+y=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=4\\4x+2y=6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}5x=10\\2x+y=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\2.2+y=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-1\end{matrix}\right.\)

vậy nếu m = -1 thì \(x=2;y=-1\)

gọi x là số xe dự định ( \(0< x\le15\))

vậy mỗi xe chở \(\dfrac{40}{x}\) tấn hàng

số xe lúc sau là x + 2

số hàng lúc sau là 40 + 14 = 54 tấn hàng

vậy mỗi xe phải chở \(\dfrac{54}{x+2}\)

vì lúc sau mỗi xe phải chở thêm \(\dfrac{1}{2}\) tấn nữa nên ta có phương trình :

\(\dfrac{54}{x+2}-\dfrac{40}{x}=\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{54x-40\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)x}=\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{54x-40x-80}{\left(x+2\right)x}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{14x-80}{x^2+2x}=\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(x^2+2x=2\left(14x-80\right)\)

\(\Leftrightarrow\) \(x^2+2x=28x-160\) \(\Leftrightarrow\) \(x^2-26x+160=0\)

giải phương trình ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x=16\left(loại\right)\\x=10\left(tmđk\right)\end{matrix}\right.\)

vậy số xe dự định bang đầu là 10 và số hàng chở thực tế là \(\dfrac{54}{12}\) = \(4,5tấn\)

điều kiện \(x>\dfrac{1}{2}\)

Q = \(\dfrac{2}{2x-1}\sqrt{8x^2\left(1-4x+4x^2\right)}\) = \(\dfrac{2}{2x-1}\sqrt{\left(\sqrt{8}x\right)^2\left(2x-1\right)^2}\)

Q = \(\dfrac{2}{2x-1}\left(\sqrt{8}x\right)\left(2x-1\right)\) \(\left(vìx>\dfrac{1}{2}\right)\)

Q = \(2\sqrt{8}x\)

a) \(\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-3}}:\sqrt{\left(\sqrt{5}-3\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}\)= \(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{5}}}{\sqrt{\sqrt{5}-3}}.\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{5}-3}\sqrt{2-\sqrt{5}}}\)

= \(\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{5}-3}}.\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{5}-3}}\) = \(\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{5}-3}^2}\) = \(\dfrac{1}{3-\sqrt{5}}\)

b) \(\dfrac{2+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2}-\dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+2}\) = \(\dfrac{\left(2+3\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)-\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}\)

= \(\dfrac{2\sqrt{5}+4+15+6\sqrt{5}-\left(5-2\sqrt{5}+\sqrt{5}-2\right)}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}\)

= \(\dfrac{8\sqrt{5}+19-5+2\sqrt{5}-\sqrt{5}+2}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}\) = \(\dfrac{9\sqrt{5}+16}{5-4}\) = \(9\sqrt{5}+16\)

c) \(\dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}:\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}-1}\) = \(\dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}:\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}-1}\)

= \(\dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}.\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}+1}\) = \(\dfrac{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}-1+2-\sqrt{2}}{3-1}\)

= \(\dfrac{1}{2}\)

E = \(\dfrac{x+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\) = \(\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

E = \(\sqrt{x}+1+\sqrt{x}\) = \(2\sqrt{x}+1\)

F = \(\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}-\dfrac{3-11\sqrt{x}}{x-9}\)

F = \(\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{3-11\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

F = \(\dfrac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)-\left(3-11\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

F = \(\dfrac{2x-6\sqrt{x}+x+3\sqrt{x}+\sqrt{x}+3-3+11\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

F = \(\dfrac{3x+9\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\) = \(\dfrac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\) = \(\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)

G = \(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{4\sqrt{x}-4}{4-x}\)

G = \(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{4\sqrt{x}-4}{x-4}\)

G = \(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{4\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

G = \(\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)-\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)-\left(4\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

G = \(\dfrac{x+2\sqrt{x}+3\sqrt{x}+6-\left(x-2\sqrt{x}-\sqrt{x}+2\right)-\left(4\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

G = \(\dfrac{x+5\sqrt{x}+6-x+2\sqrt{x}+\sqrt{x}-2-4\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

G = \(\dfrac{4\sqrt{x}+8}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\) = \(\dfrac{4\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\) = \(\dfrac{4}{\sqrt{x}-2}\)

a) xét tứ giác ACMO ta có : CMO = 90 (CM là tiếp tuyến)

CAO = 90 (CA là tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\) CMO + CAO = 180

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau \(\Rightarrow\) tứ giác ACMO nội tiếp

xét tứ giác BDMO ta có : DMO = 90 (DM là tiếp tuyến)

DBO = 90 (DB là tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\) DMO + DBO = 180

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau \(\Rightarrow\) tứ giác BDMO nội tiếp

b) ta có : MDO = MBO (2 góc nội tiếp cùng chắng cung OM của tứ giác BDMO)

MCO = MAO (2 góc nội tiếp cùng chắng cung OM của tứ giác ACMO)

xét \(\Delta\) AMB và \(\Delta\) COD : ta có : MDO = MBO (chừng minh trên)

MCO = MAO (chứng minh trên)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) AMB đồng dạng \(\Delta\) COD

\(\Leftrightarrow\) COD = AMB = 90

\(\Leftrightarrow\) COD = 90 \(\Leftrightarrow\) CO \(\perp\) OD

ta có : \(\Delta\) vuông COD có đường cao OM (CD là tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\) CM.DM = OM² (hệ thức lượng)

ta có : AC = MC (tính chất tiếp tuyến)

BD = MD (tính chất tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\) AC.BD = MC.MD

mà MC.MD = OM² (chứng minh trên)

\(\Rightarrow\) AC.BD = OM² \(\Leftrightarrow\) AC.BD = R² (OM = R)