Có: \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\)

=> \(\frac{a^2}{c^2}=\frac{c^2}{b^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{ac}{cb}=\frac{a}{b}\)(Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

=> \(\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{b}\)

=> Đpcm

a; b; c là 3 cạnh của tam giác => |a - c| < b ; |a - b| < c ; |b - c| < a

=> (|a - c|)² < b² => a² - 2ac + c² < b²  (1)

(|a - b|)² < c² => a² - 2ab + b² < c²   (2)

(|b - c|)² < a² => b² - 2bc + c² < a²   (3)

Cộng từng vế của  (1)(2)(3) ta được: 2(a² + b² + c²) - 2(ab + bc + ca) < a² + b² + c²

=> a² + b² + c² < ab + bc + ca (đpcm)

Ta có: \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\Rightarrow c^2=ab\). Thay c²=ab vào \(\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}\)ta được:

\(\frac{a^2+ab}{b^2+ab}=\frac{a\left(a+b\right)}{b\left(a+b\right)}=\frac{a}{b}\)

Vậy \(\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{b}\)(đpcm)