Đặt \(a=111...11\) với \(a\) có \(n\) chữ số 1

\(\Rightarrow a=\dfrac{10^n-1}{9}\Leftrightarrow10^n=9a+1\)

Ta có \(A=a.10^n+a-2a=a\left(9a+1\right)-a=9a^2=\left(3a\right)^2\)(đpcm)

Em xem lại đề đi nhé!

Nhận xét: Tăng chữ số hàng trăm thêm 1 đơn vị thì số đó sẽ tăng thêm 100 đơn vị còn giảm chữ số hàng chục đi 1 đơn vị thì số đó giảm đi 10 đơn vị.

Vậy nếu gọi số cần tìm là \(a\) thì theo bài ra ta có:

\(na=a+100n-10n-n \Leftrightarrow (n-1)a=89n\)

Chú ý rằng khi tăng thêm \(n\) đơn vị ở hàng trăm thì ta vẫn thu được số có 3 chữ số nên \(n \) là số tự nhiên nhỏ hơn 9 và lớn hơn 1

Thử lần lượt \(n=2,3,4,...,8\)ta thu được \(a=178\) ứng với \(n=2\)

Đặt \(A=\dfrac{1}{99.97}-\dfrac{1}{97.95}-\dfrac{1}{95.93}-...-\dfrac{1}{5.3}-\dfrac{1}{3.1}\\ \Rightarrow 2A= \dfrac{2}{99.97}-\dfrac{2}{97.95}-\dfrac{2}{95.93}-...-\dfrac{2}{5.3}-\dfrac{2}{3.1}\\ \Rightarrow 2A=\dfrac{1}{97}-\dfrac{1}{99}-(\dfrac{1}{95}-\dfrac{1}{97})-(\dfrac{1}{93}-\dfrac{1}{95})-...-(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3})\\ \Rightarrow 2A = \dfrac{1}{97}-\dfrac{1}{99}-(\dfrac{1}{95}-\dfrac{1}{97}+\dfrac{1}{93}-\dfrac{1}{95}+...+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3})\\ \Rightarrow 2A=\dfrac{1}{97}-\dfrac{1}{99}-1+\dfrac{1}{97}\\ \Rightarrow A\)

(a) Do tia On nằm giữa 2 tia Ox và Oy nên ta có \(\widehat{xOy}=\widehat{xOn}+\widehat{nOy}\)

\(\Rightarrow\widehat{xOn}=\widehat{xOy}-90^0\) hay \(\widehat{xOn}\) nhọn

\(\Rightarrow\widehat{xOn}< \widehat{xOm}\) mà 2 tia Om và On cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ Ox chứa Oy nên tia On nằm giữa tia Ox và tia Oy

\(\Rightarrow\widehat{xOn}+\widehat{mOn}=\widehat{xOm}=90^0\)

Tương tự ta có \(\widehat{yOm}+\widehat{mOn}= 90^0 \). Do đó \(\widehat{xOn}=\widehat{yOm}\) (đpcm).

(b) Ta có: \(\widehat{xOn}=\widehat{xOy}-90^0=\dfrac{1}{2}\widehat{xOy}+\dfrac{\widehat{xOy}-180^0}{2}<\dfrac{\widehat{xOy}}{2}=\widehat{xOt}<90^0=\widehat{xOm}\)Mà Om, On, Ot cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ Ox chứa Oy nên tia Ot nằm giữa 2 tia Om và On.

\(\Rightarrow\) \(\widehat{nOt}=\widehat{xOt}-\widehat{xOn}=\widehat{yOt}-\widehat{yOm}=\widehat{tOm}\) hay Ot là phân giác \(\widehat{mOn}\) (đpcm).

Do \(\Delta ABC\) là tam giác vuông cân và \(BA=BC\) nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B \) và \(AC=a\sqrt{2}\).

Trong mp (\(SAB \)) dựng \(AK\perp SB\) với \(K\in SB\)

Trong mp \((SAC)\) dựng \(AH\perp SC\) với \(H\in SC\)

Do \(SA\perp BC\) và \(AB\perp BC\) nên \(BC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\left(SAB\right)\perp\left(SBC\right)\) \(\Rightarrow AK\perp\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow AK\perp SC\) mà \(AH\perp SC\) nên \(SC\perp\left(AHK\right)\)

\(\Rightarrow HK\perp SC\) mà \(\Delta AHK\) vuông tại \(K\) nên góc giữa 2 mp cần tính là \(\widehat{AHK}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta tính được \(AH=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) và \(AK=\dfrac{a}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow\sin\widehat{AHK}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow\cos\widehat{AHK}=\dfrac{1}{2}\)