ĐK: \(a\ne1vàa\ge0\)

\(M=\left(\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}+1\right).\left(1+\dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}\right)\\ =\left(\dfrac{a+2\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+1}\right).\left(\dfrac{1-2\sqrt{a}+a}{1-\sqrt{a}}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{\sqrt{a}+1}\right).\left(\dfrac{\left(1-\sqrt{a}\right)^2}{1-\sqrt{a}}\right)\)

\(=\left(\sqrt{a}+1\right).\left(1-\sqrt{a}\right)=\sqrt{a}-a+1-\sqrt{a}\\ =1-a\)

\(A=\dfrac{3bc}{a}+\dfrac{4ac}{b}+\dfrac{5ab}{c}=\dfrac{3b^2c^2+4a^2c^2+5a^2b^2}{abc2}\)

vì \(a^2;b^2;c^2\ge0\) nên \(3b^2c^2+4a^2c^2+5a^2b^2\ge0\)

vậy GTNN của A là 0 tại a=b=c=0

MAX_P=\(\dfrac{10}{9}\) tại x=0,5

để P có GTLN thì \(x^2+2\) nhỏ nhất.

mà \(x^2\ge0\) nên GTNN của \(x^2+2\) là 2 tại x=0

thay x vào, ta được GTLN của P là 1

\(\dfrac{4x^2}{x^4+1}=\dfrac{-\left(4x^2+4x+1\right)+8x^2+4x+1}{x^4+1}\)

\(=-\dfrac{\left(2x+1\right)^2}{x^4+1}+\dfrac{8x^2+4x+1}{x^4+1}\)

mà \(-\dfrac{\left(2x+1\right)^2}{x^4+1}\le0\)

vậy M đạt GTLN khi x=-0,5

thay x=-0,5 vào biểu thức\(\dfrac{8x^2+4x+1}{x^4+1}\) , ta được KQ là \(\dfrac{16}{17}\)

vậy GTLN của M là \(\dfrac{16}{17}\) tại x=-0,5