Có CE = BE (E thuộc BC); CF = FA (F thuộc AC) (gt)

=> EF là đường trung bình của tam giác ABC

=> EF song song với AB

Xét tam giác ABD và tam giác MED có:

góc CBA = góc MED ( ở vị trí so le trong) (=90⁰)

và góc BDA = góc MDE (đối đỉnh)

=> tam giác ABD đồng dạng với tam giác MED (g-g)

b) Theo câu a) tam giác ABD đồng dạng với tam giác MED

=> \(\dfrac{BD}{DE}=\dfrac{AB}{ME}\Leftrightarrow\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DE}{ME}\left(1\right)\)

và AD là phân giác góc BAC trong tam giác ABC

=> \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}\Leftrightarrow\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DC}{AC}\left(2\right)\)

(Tính chất đường phân giác trong tam giác)

Từ (1)(2) => \(\dfrac{DE}{ME}=\dfrac{DC}{AC}\Leftrightarrow\dfrac{DC}{DE}=\dfrac{AC}{ME}\left(Đpcm\right)\)

a) \(\dfrac{x^4-x}{x^2+x+1}-\dfrac{2x^3+x}{x}+\dfrac{2\left(x^2-1\right)}{x-1}\)

\(=\dfrac{x\left(x^3-1\right)}{x^2+x+1}-\dfrac{2x^3+x}{x}+\dfrac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}\)

\(=x\left(x-1\right)-\dfrac{2x^3-x}{x}+2\left(x+1\right)\)

\(=\dfrac{x^3-x^2-2x^3+x+2x^2+2x}{x}\)

\(=\dfrac{-x^3+x^2+3x}{x}=\dfrac{x\left(-x^2+x+3\right)}{x}=-x^2+x+3\)

b) Max_P tức giá trị lớn nhất của \(-x^2+x+3\)

Ta có: \(-x^2+x+3=-\left(x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}-3\right)\)

\(=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{13}{4}\le\dfrac{13}{4}\)

Vậy Max_P=\(\dfrac{13}{4}\)

(Phần này chỉ tìm được Max chứ không tìm được Min. Hình như thế. Bạn thể xem lại nha)

c) x = 2 và x= 3 thì \(Q=\dfrac{2x}{P}\) đạt giá trị nguyên.