đề sai sai

Ta có :

\(\dfrac{1}{3x+3y+2z}=\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)+\left(2y+x+z\right)}\)(1)

Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y+x+z}+\dfrac{1}{y+x+y+z}\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}\right)\right)\)

\(=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{y+z}\right)\)

tương tự với hai ông còn lại sau đó cộng lại ta được:

\(\Sigma\dfrac{1}{3x+3y+2z}\le\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2}\)

ko biết đúng không :((

GTNN:

áp dụng BĐT \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+1\ge3xy\Rightarrow x^3+y^3\ge3xy-1\)

\(\Rightarrow A=2\left(x^3+y^3\right)-3xy\ge2\left(3xy-1\right)-3xy=3xy-2\)

do \(x^2+y^2=2\Rightarrow\left(x+y\right)^2-2=2xy\Rightarrow\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)^2-3=3xy\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)^2-3-2=\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)^2-5\ge-5\)

\(\Rightarrow A\ge-5\) Vậy \(MinA=-5\)

GTLN:
áp dụng BĐT Cauchy-Swarch: \(\left(x^2+y^2\right)\left(1^2+1^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le4\Rightarrow-2\le x+y\le2\)

ta có: \(A=2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-3xy=2\left(x+y\right)\left(2-xy\right)-3xy\)

mà \(x+y\le2\Rightarrow A\le4\left(2-xy\right)-3xy=8-7xy\)

mà \(x^2+y^2=2\Rightarrow\left(x+y\right)^2-2=2xy\Rightarrow\dfrac{7}{2}\left(x+y\right)^2-7=7xy\)

\(\Rightarrow-\dfrac{7}{2}\left(x+y\right)^2+7+8=8-7xy\)

\(\Rightarrow-\dfrac{7}{2}\left(x+y\right)^2+15=8-7xy\)

\(\Rightarrow A\le15-\dfrac{7}{2}\left(x+y\right)^2\le15\)

\(\Rightarrow MaxA=15\) khi \(\left[{}\begin{matrix}x=1;y=-1\\x=-1;y=1\end{matrix}\right.\)

Phương trình tương đương: \(\left(x^2+2xy+y^2\right)+y^2+3y-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=4-y^2-3y\)

do \(VT\ge0\) \(\Rightarrow VP\ge0\)\(\Rightarrow4-y^2-3y\ge0\)\(\Leftrightarrow y^2+3y-4\le0\)

\(\Leftrightarrow4y^2+12y-16\le0\)\(\Leftrightarrow\left(2y+3\right)^2-25\le0\Leftrightarrow\left(2y+3\right)^2\le25\)

\(\Rightarrow-5\le2y+3\le5\Rightarrow-4\le y\le1\)

Đến đây thì thế vào pt là tìm được x

ta có \(m^2+3^n=3721+1\)

\(\Rightarrow m^2+3^n=61^2+1\)

do m,n là số tự nhiên nên \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m^2=61^2\\3^n=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=61\\n=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m^2=1\\3^n=61^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\n\in\varnothing\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

vậy m=61 n=0

giải luôn: ta viết được các số có hai chữ số dạng \(\overline{ab}=10a+b\)

Phương trình tương đương:

\(\left(10a+b\right)^2-\left(10b+a\right)^2=1980\)

\(\Leftrightarrow99a^2-99b^2=1980\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=20\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right);\left(a+b\right)\inƯ\left(20\right)\)

vì a,b là số tự nhiên nên \(a+b>0\Rightarrow a-b>0\)

cũng có \(a+b>a-b\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a+b=20\\a-b=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\begin{matrix}a=\dfrac{21}{2}\\b=\dfrac{19}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow loai}\\\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\a-b=4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{9}{2}\\b=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow}}\\\left\{{}\begin{matrix}a+b=10\\a-b=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=4\end{matrix}\right.\Rightarrow chon}}\end{matrix}\right.Loai}\) Vậy a=6 và b=4