bài 4:( chỉ có dạng bài như thế, bạn tự tìm hiểu nhé)

bạn vào link này rồi đăng nhập và xem nhá

http://pitago.vn/question/cho-nua-duong-tron-tam-o-duong-kinh-ab-diem-c-thuoc-ban-kin-3494.html

Trước tiên ta phát biểu và chứng minh một bổ đề:

Bổ đề. "Cho tam giác và một điểm nằm trong tam giác. Chứng minh rằng ."

Chứng minh. Kéo dài về phía cắt cạnh tại điểm . Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$$AN+AB>BN=BM+MN\\

MN+NC>MC$$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và trừ đi hai vế cho ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.

Ta xét hai trường hợp:

a) Tam giác có ba góc nhỏ hơn .

Ta dựng tam giác đều ở phía ngoài tam giác .

Gọi là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác với . Dễ dàng chứng minh rằng nhìn ba cạnh của tam giác dưới ba góc bằng nhau. Ta chứng minh rằng với một điểm tùy ý ở trong tam giác khác điểm thì ta có

Thật vậy ta có và do đó

Mặt khác , do nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều . Và cuối cùng là

Từ và suy ra

Đẳng thức xảy ra khi (điểm được gọi là điểm Toricenli của tam giác ).

b) Tam giác có một góc, chẳng hạn .

Dựng tam giác đều ở phía ngoài của tam giác .

Do nên với mọi điểm tùy ý ở trong tam giác , điểm nằm trong tam giác .

Ta có . Mặt khác theo bổ đề trên đối với tam giác ta có .

Từ đó ta có

Như vậy khi thì tổng khoảng cách từ đến các đỉnh còn lại của tam giác là nhỏ nhất. Tóm lại trong trường hợp tam giác có một đỉnh không nhỏ hơn thì chỉnh đỉnh này là đỉnh cần tìm.

15                 

XLVI                

Cách 1 :

HC -HB = AB, HC +HB =BC
nhân 2 vế ta có HC^2 -HB^2 =AB.BC (1).
Áp dụng Pitago ta có HC ^2 =AC^2-AH^2, HB^2 = AB^2 -AH^2 nên HC^2 - HB^2 =AC^2 -AB^2 = (BC^2 -AB^2 ) -AB^2 = BC^2 -2AB^2 ,(2). Từ (1 ) và (2 ) có BC^2 - 2AB^2 =AB.BC
<=> BC^2 -AB.BC - 2AB^2 = 0
<=> (BC +AB) (BC -2AB ) = 0,
do AB +BC >0 => BC - 2AB = 0 => BC = 2AB

Cách 2:

Dựa vào đường xiên và hình chiếu :
lấy điểm D nằm giữa H,C sao cho HD = HB
==> AB = AD ( do có 2 hình chiếu bằnng nhau )
Đồng thời : AB = HC -- HB ( gt) = HC --HD = CD => AB = CD
nên : AD = CD
Kẻ đường cao DK xuống AC ==> AK = KC (do có 2 đxiên bằng nhau)
Nên K là trung điểm của AC và DK // AB ( do cùng vuông góc AC ) Từ đó D là trung điểm của BC ( đường trung bình )
==> BC = 2. BD = 2. CD , thay CD = AB ta được
----->BC = 2 .AB