Ta có \(\left\{\begin{matrix}x=by+cz\\y=ax+cz\\z=ax+by\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}ax+x=ax+by+cz\\by+y=ax+by+cz\\cz+z=ax+by+cz\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x\left(a+1\right)=ax+by+cz\\y\left(b+1\right)=ax+by+cz\\z\left(c+1\right)=ax+by+cz\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a+1=\frac{ax+by+cz}{x}\\b+1=\frac{ax+by+cz}{y}\\c+1=\frac{ax+by+cz}{z}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{1}{a+1}=\frac{x}{ax+by+cz}\\\frac{1}{b+1}=\frac{y}{ax+by+cz}\\\frac{1}{c+1}=\frac{z}{ax+by+cz}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{x+y+z}{ax+by+cz}\)

Ta lại có \(\left\{\begin{matrix}x=by+cz\\y=ax+cz\\z=ax+by\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x+y+z=2\left(ax+by+cz\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{x+y+z}{ax+by+cz}=\frac{2\left(ax+by+cz\right)}{ax+by+cz}=2\)

Vậy \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2\left(đpcm\right)\)

\(\left|4-x\right|+2x=3\)

\(\Leftrightarrow\left|4-x\right|=3-2x\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}4-x=3-2x\\4-x=-\left(3-2x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=-1\\x=\frac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

Do x là số nguyên nên \(x=-1\)

Khoảng cách giữa mép trên của gương với mặt đất để người đó nhìn thấy ảnh của đỉnh đầu mình trong gương là HK

\(OA=16cm=0,16m\)

Ta có: \(OA+OB=AB\)

\(\Rightarrow0,16m+OB=1,7m\)

\(\Rightarrow OB=1,7m-0,16m\)

\(\Rightarrow OB=1,54m\)

Xét hình thang OA'B'B

K là trung điểm của OA'

HK // A'B' ( người đứng đối diện của gương )

H là trung điểm của BB'

\(\Rightarrow\) HK là đường trung bình của hình thang OA'B'B

\(\Rightarrow HK=\frac{1}{2}\left(OB+A'B'\right)\)

Ta có \(\left\{\begin{matrix}OB=1,54m\\AB=A'B'=1,7m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow HK=\frac{1}{2}\left(1,54m+1,7m\right)\)

\(\Rightarrow HK=1,62m=162cm\)

Vậy khoảng cách giữa mép trên của gương với mặt đất để người đó nhìn thấy ảnh của đỉnh đầu mình trong gương là 162cm

kẻ đường cao BH

xét tứ giác ABHD có góc A=góc D=góc H=90 độ

=> ABHD là hình chữ nhật

=> S ABHD=AB.AD=4.3=12 cm vuông

xét tam giác vuông BHC có tanC=BH/HC =>HC=BH/tanC=3/tan\(40^0\)=3.6 cm

=> S BHC=1/2.BH. HC=1/2.3.3,6=5,4 cm vuông

=> S ABCD= S ABHC+S BHC=12+5,4=17,4 cm vuông

\(M=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2\)

Thay \(a+b=1\) vào biểu thức:

\(\Rightarrow M=\left(1+\frac{a+b}{a}\right)^2+\left(1+\frac{a+b}{b}\right)^2\)

\(M=\left(2+\frac{b}{a}\right)^2+\left(2+\frac{a}{b}\right)^2\)

Áp dụng BĐT Cô - si:

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\left(2+\frac{b}{a}\right)^2\ge\frac{8b}{a}\\\left(2+\frac{a}{b}\right)^2\ge\frac{8a}{b}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M=\left(2+\frac{b}{a}\right)^2+\left(2+\frac{a}{b}\right)^2\ge\frac{8b}{a}+\frac{8a}{b}=8\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô - si:

\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{ab}}=2\)

\(\Rightarrow8\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\ge16\)

Mà \(M=\left(2+\frac{b}{a}\right)^2+\left(2+\frac{a}{b}\right)^2\ge8\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)

\(\Rightarrow M=\left(2+\frac{b}{a}\right)^2+\left(2+\frac{a}{b}\right)^2\ge16\)

\(\Leftrightarrow M=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2\ge16\)

Vậy GTNN của \(M=16\)

Ta có \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{2ab}{2cd}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{2ab}{2cd}=\frac{a^2+2ab+b^2}{c^2+2cd+d^2}=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\left(1\right)\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{2ab}{2cd}=\frac{a^2-2ab+b^2}{c^2-2cd+d^2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\left(2\right)\)

Từ điều (1) và (2)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(c-d\right)=\left(a-b\right)\left(c+d\right)\)

\(\Rightarrow c\left(a+b\right)-d\left(a+b\right)=c\left(a-b\right)+d\left(a-b\right)\)

\(\Rightarrow ac+bc-ad-bd=ac-bc+ad-bd\)

\(\Rightarrow bc-ad=-bc+ad\)

\(\Rightarrow2bc=2ad\)

\(\Rightarrow bc=ad\)

\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\end{matrix}\right.\) ( đpcm )

đề sai phải là CMR \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) hoặc \(\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\)

Ta có

\(\frac{2x+y+z+t}{x}=\frac{x+2y+z+t}{y}=\frac{x+y+2z+t}{z}=\frac{x+y+z+2t}{t}\)

\(\Rightarrow1+\frac{x+y+z+t}{x}=1+\frac{x+y+z+t}{y}=1+\frac{x+y+z+t}{z}=1+\frac{x+y+z+t}{t}\)

\(\Rightarrow\frac{x+y+z+t}{x}=\frac{x+y+z+t}{y}=\frac{x+y+z+t}{z}=\frac{x+y+z+t}{t}\)

Xét 2 trường hợp

Nếu \(x+y+z+t=0\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x+y=-z-t\\y+z=-t-x\\t+x=-y-z\\z+t=-x-y\end{matrix}\right.\)

Ta có \(\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}\)

\(=\frac{-z-t}{z+t}+\frac{-t-x}{t+x}+\frac{-x-y}{x+y}+\frac{-y-z}{y+z}\)

\(=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)\)

\(=\left(-4\right)\)

Nếu \(x=y=z=t\)

Ta có \(\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}\)

\(=\frac{x+x}{x+x}+\frac{x+x}{x+x}+\frac{x+x}{x+x}+\frac{x+x}{x+x}\)

\(=1+1+1+1\)

\(=4\)

a)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

\(\Rightarrow\frac{xy+yz+xz}{xyz}=0\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz=0\)

\(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)

Do \(xy+yz+xz=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2\) ( đpcm )

b)

\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}=\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^2\)

\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}+\frac{2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{2}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{2}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=0\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{1}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{1}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=0\)

\(\Rightarrow\frac{\left(c-a\right)^2\left(b-c\right)\left(a-b\right)+\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)\left(c-a\right)+\left(b-c\right)^2\left(a-b\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}=0\)

\(\Rightarrow\frac{\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left[\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)\right]}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}=0\)

\(\Rightarrow\frac{\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left[\left(-a+a\right)+\left(-b+b\right)+\left(-c+c\right)\right]}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}=0\)

\(\Rightarrow\frac{\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right).0}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}=0\)

\(\Rightarrow0=0\) ( đpcm )