Bạn xem kỹ lại xem đề bài có thiếu gì không. Mình cảm giác không đủ dữ kiện @@

Biến đổi:

\(8B=8xyz[(xy+yz+xz)(x+y+z)-xyz]=8xyz(xy+yz+xz-xyz)\)

Áp dụng BĐT Am-Gm dạng \(ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\Rightarrow 8B\leq\left(\frac{xy+yz+xz+7xyz}{2}\right)^2\)

Bằng Am-Gm dễ dàng chứng minh \(xy+yz+xz\leq\frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3};xyz\leq\frac{1}{27}\)

Do đó: \(8B\leq\frac{64}{729}\Rightarrow B_{max}=\frac{8}{729}\) \(\Rightarrow 9^3k=\frac{8}{729}.9^3=8\)

Lời giải:

\(\int\frac{x^2+3x+3}{x^3-3x+2}dx=\int\frac{(x+2)(x-1)+2(x+2)+1}{(x-1)^2(x+2)}dx=\int\frac{7dx}{3(x-1)^2}+\int\frac{8dx}{9(x-1)}+\int\frac{dx}{9(x+2)}\)\(=\frac{-7}{3(x-1)}+\frac{8}{9}\ln|x-1|+\frac{1}{9}\ln|x+2|+c\)

Đặt $f(x)=x^3+ax+b$. Theo định lý Bezout về dư trong đa thức thì số dư của $f(x)$ cho $x-a$ chính là $f(a)$. Do đó:

\(\left\{\begin{matrix} f(-1)=-1-a+b=7\\ f(3)=27+3a+b=5\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{-15}{2}\\ b=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vì \(a,b\not\in \mathbb{Z}\Rightarrow \) bài toán đúng với TH $x$ chẵn.

Bạn chơ mình nha     

Lời giải:

Do $x^2,y^2\geq 0$ nên có thể giả sử $x,y$ nguyên dương.

Thấy rằng \(229=6x^2+7y^2\geq 7y^2\rightarrow y\leq 5\)

Mặt khác \(y^2\equiv 7y^2\equiv 229\equiv 1\pmod 6\Rightarrow y=1,5\)

Thử thì thấy $y=5$ thỏa mãn kéo theo $x=3$

Vậy \((x,y)\in\left \{ (3,5),(-3,5),(3,-5),(-3,-5) \right \}\)

Lời giải:

Đặt \(\sin x+\cos x=t\Rightarrow \sin t\cos t=\frac{t^2-1}{2}\)

Bằng AM-GM dễ thấy \(|t|\leq \sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}\)

Ta cần tìm max, min của \(y=t\left(1-\frac{t^2-1}{2}\right)=\frac{t}{2}(3-t^2)\)

\(y'=\frac{3}{2}-\frac{3t^2}{2}=0\Leftrightarrow t=\pm 1\)

Lập bảng biến thiên , so sánh \(f(\pm 1), f(\pm\sqrt{2})\) . Suy ra:

\(\left\{\begin{matrix} y_{max}=1\Leftrightarrow (\sin x, \cos x)=(1,0)\\ y_{min}=-1\Leftrightarrow (\sin x, \cos x)=(-1,0) \end{matrix}\right.\) và hoán vị.

Câu 3:

\(C=\int\frac{x^3-x^2-4x-1}{x^3(x+1)}dx=\int \frac{dx}{x+1}-\int\frac{dx}{x(x+1)}-\int\frac{4dx}{x^3}+\int\frac{3}{x^3(x+1)}\)

Tính riêng lẻ từng phần :)

\(\int\frac{dx}{x+1}=\ln|x+1|;\int\frac{dx}{x(x+1)}=\int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right )dx=\ln |x|-\ln|x+1|\)

\(\int\frac{4dx}{x^3}=\frac{-2}{x^2}\)

\(\int\frac{3}{x^3(x+1)}=\int \frac{3}{x^2}\left ( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right )dx=\int \frac{3dx}{x^3}-\int \frac{3dx}{x^2}+\int \frac{3dx}{x}-\int \frac{3dx}{x+1}=\frac{-3}{2x^2}+ \frac{3}{x}+3\ln|x|-3\ln|x+1|\)Suy ra \(C=2\ln|x|-\ln|x+1|+\frac{1}{2x^2}+\frac{3}{x}+c\)

Xong.

P/s: Đùa chứ bạn đào đâu ra toàn bài khoai @@

Câu 2:

\(B=\int \frac{x^4+1}{x^6+1}=\int\frac{(x^2+1)^2-2x^2}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)}dx=\int\frac{x^2+1}{x^4-x^2+1}dx-2\int \frac{x^2dx}{(x^3)^2+1}\)

\(\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2-1+\frac{1}{x^2}}dx-\frac{2}{3}\int\frac{d(x^3)}{(x^3)^2+1}=\int\frac{d\left (x-\frac{1}{x} \right)}{\left (x-\frac{1}{x}\right)^2+1}-\frac{2}{3}\int\frac{d(x^3)}{(x^3)^2+1}\)

Đặt \(x-\frac{1}{x}=a, x^3=b\). Cần tính \(B=\int\frac{da}{a^2+1}-\frac{2}{3}\int\frac{db}{b^2+1}\)

Đến đây bài toán trở về dạng quen thuộc . Đặt \(a=\tan u, b=\tan v\)

\(\Rightarrow B=\tan ^{-1}\left (x-\frac{1}{x}\right)-\frac{2}{3}\tan^{-1}(x^3)+c\)

Câu 1:

Ta có \(\int \frac{dx}{x^4+1}=\frac{1}{2}\int \left ( \frac{x^2+1}{x^4+1}-\frac{x^2-1}{x^4+1} \right )dx=\frac{1}{2}\int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx\)

\(\frac{1}{2}\int \frac{d\left ( x-\frac{1}{x} \right )}{x^2+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{2}\int \frac{d\left ( x+\frac{1}{x} \right )}{x^2+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x-\frac{1}{x})}{(x-\frac{1}{x})^2+2}+\frac{1}{2}\int \frac{d(x+\frac{1}{2})}{(x+\frac{1}{x})^2-2}\)

Đặt \(x-\frac{1}{x}=a,x+\frac{1}{x}=b\Rightarrow A=\frac{1}{2}\int \frac{da}{a^2+2}+\frac{1}{2}\int \frac{db}{b^2-2}\)

Bằng cách đặt \(a=\sqrt{2}\tan u (-\frac{\pi}{2}< u<\frac{\pi}{2})\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}\int \frac{da}{a^2+2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\tan^{-1}\left (\frac{a}{\sqrt{2}} \right)+c\)

\(\frac{1}{2}\int \frac{db}{b^2-2}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\int \left (\frac{1}{b-\sqrt{2}}-\frac{1}{b+\sqrt{2}} \right)db\)\(=\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln|\frac{b-\sqrt{2}}{b+\sqrt{2}}|+c\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{2\sqrt{2}}\tan^{-1} \left (\frac{x^2-1}{\sqrt{2}x} \right)-\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln|\frac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}|+c\)

Awn, chúc mừng năm mới!