hiệu của 2 số là

11+1=12

số bé là

(636-12):2=312

số lớn là

312+12=324

       dap so...

Giải:

Dễ thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}A=\dfrac{10^{15}+1}{10^{16}+1}< 1\\B=\dfrac{10^{16}+1}{10^{17}+1}< 1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Áp dụng tính chất \(\dfrac{a}{b}< 1\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+m}{b+m}\) ta có:

\(B=\dfrac{10^{16}+1}{10^{17}+1}< \dfrac{10^{16}+1+9}{10^{17}+1+9}\)

\(=\dfrac{10^{16}+10}{10^{17}+10}=\dfrac{10\left(10^{15}+1\right)}{10\left(10^{16}+1\right)}=\dfrac{10^{15}+1}{10^{16}+1}\)

\(\Rightarrow\dfrac{10^{15}+1}{10^{16}+1}>\dfrac{10^{16}+1}{10^{17}+1}\)

Hay \(A>B\)

Ta có:

\(d< 5\) Mà \(d\in Z\Leftrightarrow Max_d=4\)

\(c< 4d< 4.4=16\) Mà \(c\in Z\Leftrightarrow Max_c=15\)

\(b< 3c< 3.15=45\) Mà \(b\in Z\Leftrightarrow Max_b=44\)

\(a< 2b< 3.44=88\) Mà \(a\in Z\Leftrightarrow Max_a=87\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(a\) là \(87\)

Ta có:

\(A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}=1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\)

Để \(A\in Z\Leftrightarrow1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\in Z\Leftrightarrow\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\in Z\)

\(\Leftrightarrow4⋮\sqrt{x}-3\Rightarrow\sqrt{x}-3\inƯ\left(4\right)\)

Mà \(Ư\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

\(\Rightarrow\) Ta có bảng sau:

Vậy \(x\in\left\{1;4;16;25;49\right\}\) thì \(A\) có giá trị là số nguyên

Giải:

Do \(a\in Z^+\Rightarrow5^b=a^3+3a^2+5>a+3=5^c\)

\(\Rightarrow5^b>5^c\Leftrightarrow b>c\Leftrightarrow5^b⋮5^c\)

\(\Rightarrow\left(a^3+3a^2+5\right)⋮\left(a+3\right)\)

\(\Rightarrow a^2\left(a+3\right)+5⋮\left(a+3\right)\)

Mà \(a^2\left(a+3\right)⋮\left(a+3\right)\) \([\)do \(\left(a+3\right)⋮\left(a+3\right)\)\(]\)

\(\Leftrightarrow5⋮a+3\Rightarrow a+3\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\left(1\right)\)

Do \(a\in Z^+\Leftrightarrow a+3\ge4\left(2\right)\)

Kết hợp \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) ta có:

\(a+3=5\Rightarrow a=5-3=2\)

Thay \(a=2\) vào đẳng thức ta được:

\(2^3+3.2^2+5=5^5\Leftrightarrow25=5^b\Leftrightarrow b=2\)

\(2+3=5^c\Leftrightarrow5=5^c\Leftrightarrow c=1\)

Vậy \(\left(a,b,c\right)=\left(2;2;1\right)\)

Giải:

Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là \(x\). Điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}x\in N\\x\ne0\end{matrix}\right.\)

Số gói tăm dự định chia cho 3 lớp \(7A,7B,7C\) lúc đầu lần lượt là \(a,b,c\)

Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là \(d,e,f\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{6}=\dfrac{c}{7}=\dfrac{a+b+c}{5+6+7}=\dfrac{x}{18}\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{5x}{18}\\b=\dfrac{6x}{18}\\c=\dfrac{7x}{18}\end{matrix}\right.\) \(\left(1\right)\)

\(\dfrac{d}{4}=\dfrac{e}{5}=\dfrac{f}{6}=\dfrac{d+e+f}{4+5+6}=\dfrac{x}{15}\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=\dfrac{4x}{15}\\e=\dfrac{5x}{15}\\f=\dfrac{6x}{15}\end{matrix}\right.\) \(\left(2\right)\)

So sánh \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5x}{18}>\dfrac{4x}{15}\\\dfrac{6x}{18}=\dfrac{5x}{15}\\\dfrac{7x}{18}< \dfrac{6x}{15}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>d\\b=e\\c< f\end{matrix}\right.\) nên lớp \(7C\) nhận nhiều hơn lúc đầu

\(\Rightarrow f-c=4\) Hay \(\dfrac{6x}{15}-\dfrac{7x}{18}=4\Leftrightarrow\dfrac{x}{90}=4\Leftrightarrow x=360\)

Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là \(360\) gói

Giải:

Gọi số tự nhiên cần tìm là \(n\)

Nhận xét:

Các phân số đã cho đều có dạng \(\dfrac{a}{a+\left(n+2\right)}\)

Vì các phân số trên tối giản \(\Leftrightarrow\left(a;n+2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow n+2\) phải nguyên tố cùng nhau với \(7;8;9;...;100\) và \(n\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow n+2\) nhỏ nhất

\(\Leftrightarrow n+2\) phải là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn \(100\)

\(\Leftrightarrow n+2=101\Leftrightarrow n=99\)

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là \(99\)