Giải:

\(M\) thuộc đường thẳng \(y=3x+4\Rightarrow\) Gọi \(M_{\left(m;3m+4\right)}\)

Khoảng cách từ \(M\) đến \(Ox\) bằng \(\left|3m+4\right|\)

Mà theo đề bài \(\Rightarrow\left|3m+4\right|=2\Leftrightarrow3m+4=\pm2\)

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Với \(3m+4=2\Leftrightarrow m=\dfrac{-2}{3}\)

Trường hợp 2: Với \(3m+4=-2\Leftrightarrow m=-2\)

Vậy tọa độ điểm \(M\) là \(M_{\left(\dfrac{-2}{3};2\right)};M_{\left(-2;-2\right)}\)

Giải:

Ta có:

\(x^2+2x^2y^2+2y^2-\left(x^2y^2+2x^2\right)-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2-x^2+2y^2-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(y^2-1\right)+2\left(y^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2-1\right)\left(x^2+2\right)=0\)

Dễ thấy: \(x^2\ge0\Leftrightarrow x^2+2\ge2\) (Vô nghiệm)

\(\Leftrightarrow x\) tùy ý \(\left(x\in R\right)\)

Và \(y^2-1=0\Leftrightarrow y^2=1\Leftrightarrow y=\pm1\)

Vậy \(y=\pm1\) và \(x\) tùy ý \(\left(x\in R\right)\)

Giải:

Gọi số tự nhiên của hai chữ số cần tìm là \(\overline{ab}\)

Tỉ số giữa \(\overline{ab}\) và \(a+b\) là \(k\)

Ta có:

\(k=\dfrac{\overline{ab}}{a+b}=\dfrac{10a+b}{a+b}=1+\dfrac{9a}{a+b}\) \(=1+\dfrac{9}{1+\dfrac{b}{a}}\)

Do \(k_{\text{nhỏ nhất}}\Leftrightarrow\dfrac{9}{1+\dfrac{b}{a}}\) phải lớn nhất

\(\Leftrightarrow1+\dfrac{b}{a}\) phải nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}\) nhỏ nhất

\(\Leftrightarrow b\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow b=0\) và \(a=1;2;3;...;9\)

Vậy có 9 số thỏa mãn đề bài là \(10;20;30;...;90.\)

Giải:

Ta có:

\(x^2+2x^2y^2+2y^2-\left(x^2y^2+2x^2\right)-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2-x^2+2y^2-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(y^2-1\right)+2\left(y^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2-1\right)\left(x^2+2\right)=0\)

Dễ thấy: \(x^2\ge0\forall x\Leftrightarrow x^2+2\ge2>0\) (Vô nghiệm)

\(\Leftrightarrow x\) tùy ý

\(\Leftrightarrow y^2-1=0\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}y=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x\) tùy ý và \(y=1\) hoặc \(y=-1\)

Ta có:

\(\left|x-2015\right|+\left|x-2016\right|+\left|x-2017\right|\)

\(=\left|x-2016\right|+\left|x-2015\right|+\left|x-2017\right|\)

\(=\left|x-2016\right|+\left(\left|x-2015\right|+\left|x-2017\right|\right)\)

\(*)\) Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:

\(\left|x-2015\right|+\left|x-2017\right|=\) \(\left|x-2015\right|+\left|2017-x\right|\)

\(\ge\left|x-2015+2017-x\right|=\left|2\right|=2\)

\(*)\) Dễ thấy: \(\left|x-2016\right|\ge0\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left|x-2015\right|+\left|x-2016\right|+\left|x-2017\right|\) \(\ge2\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2015\ge0\\x-2016=0\\x-2017\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2015\\x=2016\\x\le2017\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=2016\)

Vậy \(GTNN\) của biểu thức là \(2\Leftrightarrow x=2016\)