Ta có: A = \(\left(a^2+3a+1\right)^2-1\)

= \(\left(a^2+3a+1-1\right)\left(a^2+3a+1+1\right)\)

= \(\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)\)

= \(\left(a^2+3a\right)\left(a^2+a+2a+2\right)\)

= \(\left(a^2+3a\right)\left[a\left(a+1\right)+2\left(a+1\right)\right]\)

= \(\left(a^2+3a\right)\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)

= \(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\)

Vì \(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\) gồm tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 và có chứa 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8

Mà (3,8) = 1 nên \(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\) \(⋮\) 3.8=24

Vậy A \(⋮\) 24, \(\forall a\in N\)

Vì \(x=19\) nên \(x-19=0\)

Ta có: A = \(x^5-20x^4+21x^3-39x^2+18x\)

= \(x^5-19x^4-x^4+19x^3+2x^3-38x^2-x^2+19x-x\)

= \(x^4\left(x-19\right)-x^3\left(x-19\right)+2x^2\left(x-19\right)-x\left(x-19\right)-x\)

= \(-x=-19\)

Bài này bạn có thể làm theo cách khác chẳng hạn bạn áp dụng đ/lí Bê-du rồi lập sơ đồ Hooc-ne để tính

Nối PM,HN

Trong ΔABC có: P là trung điểm AB, N là trung điểm AC

⇒ PN là đường trung bình của ΔABC

⇒ PN // BC hay PN // HM (Vì H,M ∈ BC)

Do đó: tứ giác MNPH là hình thang

Lại có: M là trung điểm BC, P là trung điểm AB

⇒ MP là đường trung bình của ΔABC

⇒ \(MP=\dfrac{1}{2}AC=AN\) (1)

Trong tam giác vuông AHC có: HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC nên \(HN=\dfrac{1}{2}AC=AN\) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: MP = HN

Vậy hình thang MNPH có MP = HN nên là hình thang cân

Ta có: A = \(x^2+xy+y^2-3x-3y\)

= \(\left(x^2+xy-3x\right)+y^2-3y\)

= \(\left[x^2+x\left(y-3\right)\right]+y^2-3y\)

= \(\left[x^2+2x\dfrac{\left(y-3\right)}{2}+\dfrac{\left(y-3\right)^2}{4}\right]-\dfrac{\left(y-3\right)^2}{4}+y^2-3y\)

= \(\left(x+\dfrac{y-3}{2}\right)^2-\dfrac{y^2-6y+9}{4}+\dfrac{4y^2}{4}-\dfrac{12y}{4}\)

= \(\left(x+\dfrac{y-3}{2}\right)^2+\dfrac{-y^2+6y-9+4y^2-12y}{4}\)

= \(\left(x+\dfrac{y-3}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2-6y-9}{4}\)

= \(\left(x+\dfrac{y-3}{2}\right)^2+\dfrac{3\left(y^2-2y+1-4\right)}{4}\)

= \(\left(x+\dfrac{y-3}{2}\right)^2+\dfrac{3\left(y-1\right)^2-12}{4}\)

= \(\left(x+\dfrac{y-3}{2}\right)^2+\dfrac{3\left(y-1\right)^2}{4}-3\ge-3\)

Vậy Min A = -3 \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-1=0\\x+\dfrac{y-3}{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=1\end{matrix}\right.\)

Ta có: 2x² + x + 1

= \(2\left(x^2+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\right)\)

= \(2\left(x^2+2.x.\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{7}{16}\right)\)

= \(2\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{7}{8}\)

Vì \(2\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge0,\forall x\) nên \(2\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{7}{8}\ge\dfrac{7}{8},\forall x\)

Do đó: Min của 2x² + x + 1 là \(\dfrac{7}{8}\) \(\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{4}=0\) \(\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{4}\)