3) + Nếu a = 0 thì |b|.(b-c) = 0

<=> |b|=0 hoặc b-c=0

<=> b=0 hoặc b=c, mâu thuẫn với đề

+ Nếu b = 0 thì |b|.(b-c)=0=a^2

<=> a=0, mâu thuẫn với đề ( vì chỉ có 1 số = 0)

Như vậy, c = 0

Ta có: a^2 = |b|.b

+ Nếu b âm thì |b|.b âm (do |b| > 0)

=> a^2 âm, vô lý vì a^2 > 0

Suy ra b dương

Vậy a âm, b dương, c = 0

21) Trên BC lấy K sao cho MD = BK

Xét t/g AMD và t/g NBK có:

AM = BN (gt)

AMD = NBK ( đồng vị)

MD = BK ( cách vẽ)

Do đó, t/g AMD = t/g NBK (c.g.c)

=> MAD = BNK (2 góc tương ứng)

Mà MAD và BNK là 2 góc ở vị trí đồng vị nên AD // NK hay EC // NK

Lại có: NE // KC (gt)

Nên NE = KC (t/c đoạn chắn)

Như vậy, MD + NE = BK + KC = BC (đpcm)

a) Tam giác NMC vuông tại M có: CNM + NCM = 90^o (1)

Tam giác QMB vuông tại M có: MBQ + MQB = 90^o (2)

Từ (1) và (2) lại có: NCM = MBQ ( vì tam giác ABC cân tại A). Do đó, CNM = MQB

= QNA ( vì QNA và CNM là 2 góc đối đỉnh)

=> tam giác QAN cân tại A ( dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

=> AN = AQ ( tính chất tam giác cân) (đpcm)

b) ĐK: H thuộc QN

Có: AH // BC (gt)

QM _|_ BC (gt)

=> AH _|_ QM

Xét t/g QHA vuông tại H và t/g NHA vuông tại H có:

AQ = AN (câu a)

AQH = ANH (câu a)

Do đó, t/g QHA = t/g NHA ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> QH = NH (2 cạnh tương ứng)

=> H là trung điểmm NQ (đpcm)

1) Từ đề bài => (17x + 2y)+(x - 2y) = 2011|xy|+3xy

<=> 18x = 2011|xy|+3xy (1)

Dễ thấy x = y = 0 là nghiệm của (1)

Bây giờ ta xét trường hợp x và y khác 0

+ Nếu xy < 0, từ (1) => 18x = -2011xy + 3xy

<=> 18x = -2008xy

<=> y = -1004/9

Thay vào x - 2y = 3xy ta được:

x - 2.(-1004/9) = 3.(-1004/9).x

<=> x = -2008/3021 (không TM xy < 0)

+ Nếu xy > 0, từ (1) => 18x = 2011xy + 3xy

<=> 18x = 2014xy

<=> y = 1007/9

Thay vào x - 2y = 3xy ta được:

x - 2.1007/9 = 3x.1007/9

<=> x = -1007/1506 (ko TM)

Vậy ...

Tam giác CMF vuông tại F có: FCM + FMC = 90^o (1)

Tam giác MEB vuông tại E có:EMB + EBM = 90^o (2)

Tam giác ABC cân tại A có: ABC = ACB (t/c tam giác cân) (3)

Từ (1);(2) và (3) => FMC = EMB

=> FMC + FME = EMB + FME

=> CME = FMB (đpcm)

a) Gọi K là giao điểm của DN và BE

T/g BKD vuông tại K có: BDK + DBK = 90^o (1)

T/g ABC vuông tại A có: ABE + BEA = 90^o (2)

Từ (1) và (2) => BDK = BEA

= IDA ( vì BDK và IDA là 2 góc đối đỉnh)

Xét t/g DAI vuông tại A và t/g EAB vuông tại A có:

AD = AE (gt)

IDA = BEA (cmt)

Do đó, t/g DAI = t/g EAB ( cạnh góc vuông và góc nhọn kề)

=> AI = AB (2 cạnh tương ứng)

= AC

=> A là trung điểm của CI (đpcm)

b) Gọi H là giao điểm của AM và BE

Có: IK _|_ BE (gt)

AH _|_ BE (gt)

=> IK // AH hay IN // AM

Mà AI = IC (câu a)

Nên MN = MC ( hệ quả của t/c đường trung bình trong tam giác) (đpcm)

2) Từ A hạ đường vuông góc với AB,AC,BC lần lượt tại K,H,N

Xét t/g IKB vuông tại K và t/g INB vuông tại N có:

KBI = NBI (gt)

BI là cạnh chung

Do đó, t/g IKB = t/g INB ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> IK = IN (2 cạnh tương ứng) (1)

Tương tự: t/g INC = t/g IHC ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> IN = IH (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) => IK = IH

Xét t/g AKI vuông tại K và t/g AHI vuông tại H có:

AI là cạnh chung

IK = IH (cmt)

Do đó, t/g AKI = t/g AHI ( cạnh huyền - cạnh góc vuông)

=> KAI = HAI (2 góc tương ứng)

=> AI là phân giác góc BAC (đpcm)

1) a) t/g ABC cân tại A => ACB = ABC ( tính chất t/g cân)

Mà: ACB + ACE = 180^o ( kề bù)

ABC + ABD = 180^o ( kề bù)

Nên ACE = ABD

Xét t/g ACE và t/g ABD có:

AC = AB (gt)

ACE = ABD (cmt)

CE = BD (gt)

Do đó, t/g ACE = t/g ABD (c.g.c)

=> AEC = ADB (2 góc tương ứng)

Xét t/g EKC vuông tại K và t/g DHB vuông tại H có:

EC = BD (gt)

KEC = HDB (cmt)

Do đó, t/g EKC = t/g DHB ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> CK = BH (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Xét t/g ABH vuông tại H và t/g ACK vuông tại K có:

AB = AC (gt)

BH = CK (câu a)

Do đó, t/g ABH = t/g ACK ( cạnh huyền - cạnh góc vuông) (đpcm)

Tam giác BEC có: AM // EB (A thuộc EC, M thuộc BC)

=> \(\frac{CM}{BC}=\frac{AM}{BE}\) ( hệ quả của định lí Ta-let) (1)

Tam giác BCD có: AM // DC (A thuộc BD, M thuộc BC)

=> \(\frac{BM}{BC}=\frac{AM}{DC}\)( hệ quả của định lí Ta-let) (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{CM}{BC}+\frac{BM}{BC}=\frac{AM}{EB}+\frac{AM}{DC}\)

<=> 1 = AM.(\(\frac{1}{EB}+\frac{1}{DC}\))

<=> \(\frac{1}{AM}=\frac{1}{EB}+\frac{1}{DC}\left(đpcm\right)\)

a) A = n/3 + n²/2 + n³/6

A = 2n+3n²+n³/6

A = 2n+2n²+n²+n³/6

A = (n+1)(2n+n²)/6

A = n(n+1)(n+2)/6

Vì n(n+1)(n+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3

Mà (2;3)=1 => n(n+1)(n+2) chia hết cho 6

Hay A thuộc Z (đpcm)

b) B = n⁴/24 + n³/4 + 11n²/24 + n/4

B = n⁴+6n³+11n²+6n/24

B = n(n³+6n²+11n+6)/24

B = n(n³+n²+5n²+5n+6n+6)/24

B = n(n+1)(n²+5n+6)/24

B = n(n+1)(n²+2n+3n+6)/24

B = n(n+1)(n+2)(n+3)/24

Vì n(n+1)(n+2)(n+3) là tích 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8 và 3

Mà (8;3)=1 => n(n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 24

Hay B nguyên (đpcm)