Xe thứ nhất chở 60 thùng dầu, mỗi thùng chứa 24 lít dầu. Xe thứ hai chở một số thùng dầu, mỗi thùng chứa 45 lít. Hỏi xe thứ hai chở bao nhiêu thùng dầu, biết xe thứ hai chở nhiều hơn xe thứ nhất 180 lít dầu.

The new camera didn’t work, ___________ I took it back to the shop.

A. so

B. if

C. such

D. and

1) có: \(\dfrac{1}{3}\le\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\le3\); từ đó suy ra.

2) Áp dụng BĐT AM-GM :

\(2x^2+2y^3=2.\sqrt{x^3.x}+2\sqrt{y^4.y^2}\le x^3+x+y^4+y^2\le x^2+y^3+x+y^2\)\(\Rightarrow x^2+y^3\le x+y^2\)

Bài 2: Restore : a;b;c không âm thỏa \(a^2+b^2+c^2=1\)

Tìm Min & Max của \(M=\left(a+b+c\right)^3+a\left(2bc-1\right)+b\left(2ac-1\right)+c\left(2ab-1\right)\)

Bài 4: Tương đương giống hôm nọ thôi : V

Bài 5 : Thiếu ĐK thì vứt luôn : V

Bài 7: Tương đương

( Hoặc có thể AM-GM khử căn , sau đó đổi \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\) rồi áp dụng bổ đề vasile)

Bài 8 : Đây là 1 dạng của BĐT hoán vị

Bài 1:

dự đoán dấu = sẽ là \(a^2=b^2=c^2=\dfrac{1}{2}\) nên cứ thế mà chém thôi .

Ta có: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\)

Bunyakovsky:\(\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\)

\(VT=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\left(1+c^2\right)\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)^2\)(đpcm)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

P/s: còn 1 cách khác nữa đó là khai triển sau đó xài schur . Chi tiết trong tệp BĐT schur .pdf

40% số thứ nhất bằng 50% số thứ 2

BẠN LÀ NGƯỜI CHƠI TRƯỚC THÌ SẼ LUÔN LUÔN THẮNG

\(BĐT\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{3}{abc}\ge2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)\)

Đổi \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\)

\(BĐT\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3abc\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) , abc=1.

Theo nguyên lý diriclet thì trong 3 số a-1; b-1; c-1 có ít nhất 2 số cùng dấu .Giả sử đó là a-1 và b-1 thì \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow abc\ge ac+bc-c\)

khi đó BĐT cần cm tương đương :

\(a^2+b^2+c^2+3\left(ac+bc-c\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

hay \(\left(a-b\right)^2+c\left(a+b+c-3\right)\ge0\)

Điều này luôn đúng do \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)

Vậy BĐt được chứng minh.Dấu = xảy ra khi a=b=c=1.

các chữ số nằm trong khoảng từ 0->9 
ta có : chữ số hàng trăm có 9 cách chọn ( khác 0 ) 
chữ số hàng chục có 9 cách chọn ( khác chữ số hàng trăm đã chọn ) 
chữ số hàng đơn vị có 8 cách chọn khác chữ số hàng chục và hàng trăm đã chọn 
=> số các số có 3 chữ sô khác nhau là : 9.x9x8=648

Dự đoán điểm rơi (a;b;c)=(2;4;4)

AM-GM: \(2a^2+8\ge8a\)

\(2b^2+32\ge16b\)

\(c^3+c^3+64\ge12c^2\)

Cộng theo vế: \(2VT+104\ge4\left(2a+4b+3c^2\right)=272\)

\(\Rightarrow VT\ge84\)