Cho mình sửa lại chút nhé:

Gọi số cần tìm là abcd.

- Chữ số tận cùng của số cần tìm là số nguyên tố => d có thể là 2, 3, 5, 7. Mà số chính phương có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 nên d = 5.

Ta có:

- √abc5 = e5 (vì abc5 là số chính phương và có chữ số tận cùng là 5 nên căn bậc 2 của nó cũng có chữ số tận cùng là 5).

- Vì e cộng với 5 bằng 1 số chính phương nên tổng e + 5 khi chia cho 3 dư 0 hoặc dư 1.

=> e5 chỉ có thể là 45.

=> abc5 = 45² = 2025.

Vậy số cần tìm là 2025.

1.

- Gọi tập hợp cần tìm là A.

- Ta thấy từ 1 đến 100 thì số 99 là số lớn nhất chia hết cho 3.

- Số 99 gấp 3 lần số 33.

- Từ 33 đến 99 có số các số tự nhiên là: 99 - 33 + 1 = 67.

- Vì 100 \(⋮̸\) 3 nên 100 cũng là một phần tử của tập hợp A.

Vậy tập hợp cần tìm có nhiều nhất 68 phần tử.

2. Bài 2 thì bạn Tuấn Anh Phan Nguyễn làm rồi nên mình không làm nữa!

Mình làm theo đề này nhé:

Cho một số chính phương có 4 chữ số. Biết rằng chữ số tận cùng của nó là số nguyên tố, tổng các chữ số của nó là số chính phương và căn bậc hai của nó cũng có tổng các chữ số là số chính phương.

Gọi số cần tìm là abcd.

- Chữ số tận cùng của số cần tìm là số nguyên tố => d có thể là 2, 3, 5, 7. Mà số chính phương có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 nên d = 5.

Ta có:

- \(\sqrt{abc5}=\)e5 (vì căn bậc 2 của abc5 là 1 số chính phương và chữ số tận cùng của abc5 là 5 nên căn bậc 2 của nó cũng có chữ số tận cùng bằng 5).

- Vì e cộng với 5 bằng 1 số chính phương nên tổng e + 5 khi chia cho 3 dư 0 hoặc dư 1.

=> e5 chỉ có thể là 45.

=> abc5 = 45² = 2025.

Vậy số cần tìm là 2025.

Gọi ước chung lớn nhất của 12n + 1 và 30n + 2 là a.

=> 5 (12n +1) - 2 (30n + 2) = 1 \(⋮\) a

=> a = 1

Vì ước chung lớn nhất của tử và mẫu của phân số \(\dfrac{12n+1}{30n+2}\) là 1 nên:

\(\dfrac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản (đpcm).

hình như chỗ này \(8-1=\sqrt{61-1}< \sqrt{65}-1\) phải là \(8-1< \sqrt{61-1}< \sqrt{65}-1\)

- Các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 là từ 0 đến 999.

- Số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5 có chữ số tận cùng là 2, 4, 6, 8. Cứ mỗi một chục thì có 4 chữ số đó.

- Từ 0 đến 999 ta có số chục là: 990 : 10 = 99 (chục).

=> Số các số từ 1 đến 990 chia hết cho 2 mà không chia hết cho 5 là:

4 . 99 = 396 (số).

- Từ 991 đến 999 cũng có 4 chữ số 2, 4, 6, 8 nên số các số từ 0 đến 999 chia hết cho 2 mà không chia hết cho 5 là:

396 + 4 = 400 (số).

Vậy trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000, có 400 số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 5.

a)

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ta có:

\(\widehat {A}\) + \(\widehat {B} + \widehat {C}\) = 180°

hay: 60° + \(\widehat {B} + \widehat {C}\) = 180°

=> \(\widehat {B} + \widehat {C}\) = 180 ° - 60 ° = 120°

Vì \(\widehat {IBF} = \widehat {IBE}; \widehat {ICF} = \widehat {ICD}\) nên:

\(\widehat {IBF} + \widehat {ICF} = 120° : 2 = 60°\)

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ta có:

\(\widehat {BIC} = 180° - (\widehat {IBF} + \widehat {ICF})\)

\(\widehat {BIC}=180° - 60° = 120°\)

Vậy \(\widehat {BIC} = 120°\)

b)

Vì IF là tia phân giác của góc BIC nên:

\(\widehat {BIF} = \widehat {FIC} = 120° : 2 = 60°\)

Vì EIB và BIC là 2 góc kề bù nên:

\(\widehat {EIB} = 180° - BIC\)

\(\widehat {EIB} = 180° - 120° = 60°\)

Xét 2 tam giác BEI và BFI ta có:

\(\widehat {EBI} = \widehat {IBF} (gt)\)

BI là cạnh chung

\(\widehat {EIB} = \widehat {BIF} = 60°\) (cmt)

Vậy \(\Delta BEI=\Delta BFI\) (g-c-g).

=> BE = BF (2 cạnh tương ứng).

Ta có:

\(\widehat {FIC} = 60° (cmt)\)

\(\widehat {DIC} + \widehat {BIC} = 180°\) (2 góc kề bù)

hay: \(\widehat {DIC} + 120° = 180°\)

=> \(\widehat {DIC} = 180° - 120° = 60°\)

Xét 2 tam giác DIC và FIC ta có:

\(\widehat {DCI} = \widehat {ICF} (gt)\)

IC là cạnh chung

\(\widehat {FIC} = \widehat {DIC} = 60° (cmt)\)

Vậy \(\Delta DIC=\Delta FIC\) (g-c-g).

=> CD = CF (2 cạnh tương ứng).

Ta có:

BC = BF + CF

Mà BF = BE; CF = CD nên:

BE + CD = BC (đpcm).

Ta có:

\(\dfrac{3}{1^2.2^2}+\dfrac{5}{2^2.3^2}+\dfrac{7}{3^2.4^2}+...+\dfrac{19}{9^2.10^2}\)

= \(\dfrac{2^2-1^2}{1^2.2^2}+\dfrac{3^2-2^2}{2^2.3^2}+\dfrac{4^2-3^2}{3^2.4^2}+...+\dfrac{10^2-9^2}{9^2.10^2}\)

= \(\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^2}-\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{9^2}-\dfrac{1}{10^2}\)

= \(1-\dfrac{1}{10^2}\)

Mà \(1-\dfrac{1}{10^2}< 1\) nên:

\(\dfrac{3}{1^2.2^2}+\dfrac{5}{2^2.3^2}+\dfrac{7}{3^2.4^2}+...+\dfrac{19}{9^2.10^2}\) < 1 (đpcm).