Giả sử S là số chính phương
Ta có: S = abc + bca + cab (0<a,b,c<10)
S = 100a + 10b + c+ 100b + 10c + a + 100c + 10a + b
= (100a + a+ 10a) + ( 10b + 100b +b) + ( c + 10c + 100c)
= 111a+111b+111c = 111 ( a+b+c)
Vì a,b,c \(\le9\) nên \(a+b+c\le27\)
Vì 111 = 3 x37 nên S = 37 x [ 3 x (a+b+c) ]
Từ \(a+b+c\le27\) => 3 x (a+b+c) \(\le81\)(1)
Mà 37 là số nguyên tố, S là số chính phương kết hợp với (1) nên buộc 3 x (a+b+c) = 37 để S = 37 x 37 = 372 là số chính phương.
=> 3 x (a+b+c) = 37
=> a + b + c không phải là số tự nhiên.
=> S không phải là số chính phương để thõa mãn điều trên của đề bài