Cách 1

Vì x chia 4 dư 1

\(\Rightarrow x^2\) chia 4 dư 1 hay \(x^2=4k+1\)

\(\Rightarrow x^2-4n+5=4k+1-4n+5=4k-4n-4\)

Vì 4k chia hết cho 4 ; 4n chia hết cho 4 ; 4 chia hết cho 4

\(\Rightarrow x^2-4n-5\) chia hết cho 4

Cách 2

Ta có

\(x^2-4n-5=\left(x^2-1\right)-4n-4\)

\(=\left(x+1\right)\left(x-1\right)-4n-4\)

Vì x chia 4 dư 1

=> x- 1 chia hết cho 4

=>\(x^2-4n+5\) chia hết cho 4

Ta có

\(P< \frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+......+\frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow P< \frac{1}{4}-\frac{1}{5}+.....+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow P< \frac{1}{4}-\frac{1}{100}< \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow P< \frac{1}{4}\left(1\right)\)

\(p>\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6.7}+....+\frac{1}{100.101}\)

\(P>\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)

\(P>\frac{1}{6}+\frac{1}{25}-\frac{1}{101}\)

Ta thấy

\(\frac{1}{25}>\frac{1}{101}\Rightarrow\frac{1}{25}-\frac{1}{101}>0\)

Đặt \(M=\frac{1}{25}-\frac{1}{101}\)

\(\Rightarrow P>\frac{1}{6}+M>\frac{1}{6}\)

\(\Rightarrow P>\frac{1}{6}\left(2\right)\)

Tự (1) và (2)

\(\Rightarrow\frac{1}{6}< p< \frac{1}{4}\)

tui trả lời cho vui mà cũng trúng hả

\(\Rightarrow\frac{x^8}{256}=\frac{y^8}{65536}=\frac{x^4.y^4}{4096}=\frac{16}{4096}=\frac{1}{256}\)

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\x=-1\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=2\\y=-2\end{array}\right.\)

Mà 2 và 4 cùng dấu

=> x; y cùng dấu

\(\Rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(1;2\right);\left(-1;-2\right)\right\}\)

a)

Với x+y=110

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{x}{7}=\frac{y}{3}=\frac{x+y}{7+3}=\frac{110}{10}=11\)

\(\Rightarrow\begin{cases}x=77\\y=33\end{cases}\)

b)

Với x - y =50 

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{x}{7}=\frac{y}{3}=\frac{x-y}{7-3}=\frac{50}{4}=\frac{25}{2}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{175}{2}\\y=\frac{75}{2}\end{cases}\)

a)

 Ta có

a chia 5 dư 4

=> a=5k+4 ( k là số tự nhiên )

\(\Rightarrow a^2=\left(5k+4\right)^2=25k^2+40k+16\)

Vì 25k^2 chia hết cho 5

    40k chia hết cho 5

    16 chia 5 dư 1

=> đpcm

2) Ta có

\(12=\frac{5^2-1}{2}\)

Thay vào biểu thức ta có

\(P=\frac{\left(5^2-1\right)\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)}{2}\)

\(\Rightarrow P=\frac{\left[\left(5^2\right)^2-1^2\right]\left[\left(5^2\right)^2+1^2\right]\left(5^8+1\right)}{2}\)

\(\Rightarrow P=\frac{\left[\left(5^4\right)^2-1^2\right]\left[\left(5^4\right)^2+1^2\right]}{2}\)

\(\Rightarrow P=\frac{5^{16}-1}{2}\)

3)

\(\left(a+b+c\right)^3=\left(a+b\right)^3+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right)c^2+c^3\)

\(=a^3+b^3+c^2+3ab\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(ab+ca+cb+c^2\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Hàng 3 xếp vẫn còn thừa 1 con

<=> a chia 3 dư 1     (2)

4 hàng xếp vẫn chưa tròn

<=> a không chia hết cho 4   (3)

Hàng 5 xếp thiếu 1 con mới đầy

<=> a chia 5 dư 4     (4)

Xếp thành hàng 7 đẹp thay

<=> a chia hết cho 7       (5)

Từ (5) => a có tận cùng là 4 hoặc 9

Mà 4 chia hết cho 2 ( Trái với 1)

=> a có tận cùng là 9

Mặt khác \(a\le200\)

=> \(a\in\left\{9;19;29;...199\right\}\)

Dễ thấy chỉ có 49 ; 119 ; 189 chia hết cho 7

Kiểm tra với (2) => a=49

Vậy đàn vịt có 49 con

Cùng quãng đường thì vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian.

Tỉ số vận tốc của Xuân và Hạ là 10/12 = 5/6

Điểm gặp nhau cách nhà Hạ là:

50 : 5 x 6 = 60 (m)

Quãng đường giữa hai nhà là:

50 + 60 = 110 (m)

Đáp số:  110 m

c)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^5=\left(x-1\right)^4\)

Vì 5 mũ lẻ

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-1=0\\x-1=1\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\x=2\end{array}\right.\)

d)

Vì 8 và 6 mũ chẵn

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}3x-7=0\\3x-7=1\\3x-7=-1\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}3x=7\\3x=8\\3x=6\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{7}{3}\\x=\frac{8}{3}\\x=2\end{array}\right.\)

e)

Vì 9 mũ lẻ

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}2x-5=0\\2x-5=1\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{5}{2}\\x=3\end{array}\right.\)

Ta có

a=1 vì 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải hợp số (1)

105:12=8 dư 9 => b=9 (2)

c=3 vì 3 là số nguyên tố lẻ nhỏ nhất (3)

d là TBC của b và c => d=\(\frac{9+3}{2}=\frac{12}{2}=6\) (4)

Từ (1) ; (2) ; (3) ; (4)

\(\Rightarrow\overline{abcd}=1934\)

Vậy máy bay ra đơi năm 1934