Vì \(\overline{abcd}\) là một số chính phương nên \(d\notin\left\{2;3;7;8\right\}\)

Mặt khác, d là một số nguyên tố có một chữ số, suy ra d = 5.

\(\Rightarrow\overline{abcd}⋮25\) , kết hợp với giả thiết \(\overline{abcd}⋮9\)

\(\Rightarrow\overline{abcd}⋮225\)

Đặt \(\overline{abcd}=225m^2\). Vì \(\overline{abcd}\) là số tư nhiên có 4 chữ sỗ

\(\Rightarrow5\le m^2\le44\)

\(\Rightarrow3\le m\le6\)

Thử lần lượt các giá trị trong khoảng trên và tìm được \(\overline{abcd}\) thoả mãn là 2025 và 5625.

Note: chỗ "mặt khác" là t áp dụng tính chất [số chính phương chia hết cho số
nguyên tố p thì sẽ chia hết cho p²]

Bài 2:

a)

\(M=\dfrac{x^5}{30}-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{2x}{15}\)

\(=\dfrac{x^5-5x^3+4x}{30}\)

\(=\dfrac{x\left(x^4-5x^2+4\right)}{30}\)

\(=\dfrac{x\left(x^2-4\right)\left(x^2-1\right)}{30}\)

\(=\dfrac{x\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)}{30}\)

Suy ra nếu x nguyên thì M cũng nguyên ^.^

Bài 3:

a) Chứng minh \(VP\ge VT\) dùng Cauchy Shwarz dạng Engel.

b) Xét \(M=2a^2+2b^2+2\)

\(=\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+\left(a^2+b^2\right)\)

\(\ge2a+2b+2ab\) (áp dụng bđt AM - GM)

\(\Rightarrow a^2+b^2+1\ge a+b+ab\left(\text{đ}pcm\right)\)

Bài 4:

a)

\(M=x+\sqrt{2-x}=-\left(2-x\right)+\sqrt{2-x}+2\)

Đặt \(\sqrt{2-x}=m\left(m\ge0\right)\)

\(\Rightarrow M=-m^2+m+2\)

\(=-\left(m^2-m+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}+2\)

\(=\dfrac{9}{4}-\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{9}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\sqrt{2-x}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{4}\)

b)

\(5x^2+9y^2-12xy+8=24\left(2y-x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow5x^2+24x+9y^2-48y-12xy+80=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+9y^2+64-12xy-48y+32x\right)+\left(x^2-8x+16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3y+8\right)^2+\left(x-4\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=\dfrac{16}{3}\end{matrix}\right.\) (loại)

Vậy . . .

bốn chia ba là tứ chia tam mà tám chia tư

=> 8 : 4= 2

Cái này hay đó NGUYEN LE TRA MY

\(\sqrt{3x^2-5x+1}-\sqrt{3x^2-3x-3}=\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2-3x+4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3x^2-5x+1}-\sqrt{3x^2-3x-3}=\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2-3x+4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3x^2-5x+1-3x^2+3x+3}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3x^2-3x-3}}=\dfrac{x^2-2-x^2+3x-4}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2\left(x-2\right)}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3x^2-3x-3}}=\dfrac{3\left(x-2\right)}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}+\dfrac{2}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3x^2-3x-3}}\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Rightarrow x=2\)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất . . .

Note: cái biểu thức to bự trong ngoặc tròn ấy vô nghiệm tại vì nó lớn hơn 0 ~ o_O ~

\(\sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\sqrt{2x-1}-x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\dfrac{2x-1-x^2}{\sqrt{2x-1}+x}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2-\dfrac{\left(x-1\right)^2}{\sqrt{2x-1}+x}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}+x}\right)=0\)

Trường hợp 1:

\(\left(x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Trường hợp 2:

\(1-\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}+x}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}+x}=\dfrac{1}{1}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}=1-x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-x\ge0\\2x-1=1-2x+x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\ge x\\x^2-4x+2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le1\\\left[{}\begin{matrix}x=2+\sqrt{2}\left(l\right)\\x=2-\sqrt{2}\left(n\right)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt . . .