Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp (O) . Đường cao BE của tam giác kéo dài cắt (O) tại K . Kẻ KD vuông góc với BD tại D

a) chứng minh tứ giác CDEK nội tiếp

b)Cm KB là tia phân giác của góc AKD

c)Tia DE cắt BA tại I.CM KI vuông góc AB

d)Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB tại H. Chứng minh CH song song với KI

Với M=\(\frac{2}{1+\sqrt{a}}\)

Tìm số tự nhiên a để 18M là số chính phương

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh bất đẳng thức:

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)

Lời giải:Ta không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức với mẫu số vì bất đẳng thức sẽ đổi chiều:

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\le\frac{a}{2b}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2a}\ge\frac{3}{2}\)(Vô lí)

Và ta làm theo cách khác : \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{a}{2b}=a-\frac{ab}{2}\).Ta đã sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số \(1\)+\(b^2\ge2b\)

Từ bất đẳng thức trên, xây dựng 2 bất đẳng thức đương tự với rồi cộng cả 3 bất đẳng thức lại suy ra:

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}=a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\ge\frac{3}{2}\).vì ta có . Dấu = xảy ra khi .

CMR \(\sqrt{x+1}\)>\(\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}\)

CMR \(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2005\sqrt{2004}}< 2\)

1.Cho ba số dương a+b+c=1.Chứng minh rằng:

\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)

2.Cho x,y,z là các số thực dương và thỏa mãn xy+yz+zx=xyz.Chứng minh rằng:

\(\frac{xy}{z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{yz}{x^3+\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{zx}{y^2+\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\)\(\ge\)\(\frac{1}{16}\)

3.Cho hai số thực dương a,b và thỏa mãn 2a +3b \(\le4\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Q=\(\frac{2002}{a}+\frac{2017}{b}+2996a-5501b\)

4.Gỉai phương trình : \(\left(x^2-4\right)^3=\left(\sqrt[3]{\left(x^2+4\right)^2}+4\right)^2\)

Talk about the qualities and skills that you think are necessary for an astronaut.