a/ - Do N đối xứng với M qua AB => AB là đường trung trực của MN hay  AB ⊥ MN
- AB ⊥ AC (△ABC vuông tại A)
=> MN // AC (đpcm)

b/ Xét △HBM và △HBN :
- HB chung
- Góc BHM = Góc BHN = 90^o (gt)
 - HN = HM (gt)
=> △HBM = △HBN (c.g.c)
=> BN = BM 
Tứ giác ANBM có BN = BM hay hai cạnh kề bằng nhau => Tứ giác ABNM là hình thoi
Vậy : HA = HB (đpcm)
- Do tứ giác ANBM là hình thoi => AN = BM
Mà BM = CM (trung tuyến AM) => AN = MC (1)
Hình thoi ANBM có AN // BM => AN // MC (2)
Từ (1) và (2), suy ra tứ giác ANMC là hình bình hành
Vậy MN = AC (đpcm)

c/ Do AN // MB (ABNM là hình thoi), AN // MC (cmt)
=> AN // BC 
Vậy: Tứ giác ACBN là hình thang (đpcm).

AH // BK (cùng vuông góc CD)

AB // CD (gt)

=> AH = BK (cùng cắt AB và CD)

Xét tam giác AHD và tam giác BKC ta có:

 Góc H = Góc K = 90 độ (gt)

 DH = CK (gt)

 AH = BK (cmt)

=> Tam giác AHD = Tam giác BKH (c.g.c)

=> Góc D = Góc C (hai góc tương ứng)

 Vậy: ABCD là hình thang cân