Ta có:
\(m=(2005+
2003
)(2003+
2003
)\)
\(n = (2004 + \sqrt{2003})^2\)
Rút gọn biểu thức, ta có:
\(m = (2005 + \sqrt{2003})(2003 + \sqrt{2003})\)
Đặt \(a = \sqrt{2003}\) , khi đó:
\(2005 = 2003 + 2 = a^2 + 2\)
\(2003 = a^2\)
Biểu thức \(m\) trở thành:
\(m = (a^2 + 2)(a^2 + a)\)
\(\Leftrightarrow m=a^4+a^3+2a^2+2a\)
Rút gọn biểu thức \(n\) , ta có:
\(n = (2004 + \sqrt{2003})^2\)
Đặt \(a = \sqrt{2003}\) \(\Longrightarrow2004=2003+1=a^2+1\)
\(n = (a^2 + 1 + a)^2 = (a^2 + a + 1)^2\)
\(\Leftrightarrow(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)
Áp dụng với \(x=a^2;y=a;z=1\)
\(n = (a^2)^2 + a^2 + 1^2 + 2(a^2)(a) + 2(a)(1) + 2(1)(a^2)\)
\(n = a^4 + a^2 + 1 + 2a^3 + 2a + 2a^2\)
\(n = a^4 + 2a^3 + 3a^2 + 2a + 1\)
Xét hiệu \(m - n\) hoặc \(n - m\)
\(n - m = (a^4 + 2a^3 + 3a^2 + 2a + 1) - (a^4 + a^3 + 2a^2 + 2a)\)
\(n - m = a^4 - a^4 + 2a^3 - a^3 + 3a^2 - 2a^2 + 2a - 2a + 1\)
\(n - m = a^3 + a^2 + 1\)
Biến đổi biểu thức \(m\)
\(m = (2005 + \sqrt{2003})(2003 + \sqrt{2003})\)
\(m = (2004 + 1 + \sqrt{2003})(2004 - 1 + \sqrt{2003})\)
\(m = \left[(2004 + \sqrt{2003}) + 1\right] \left[(2004 + \sqrt{2003}) - 1\right]\)
Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương \((A + B)(A - B) = A^2 - B^2\) , với \(A = 2004 + \sqrt{2003}\) và \(B=1:\)
\(m = (2004 + \sqrt{2003})^2 - 1^2\)
\(m = (2004 + \sqrt{2003})^2 - 1\)
Mà theo đề bài, \(n = (2004 + \sqrt{2003})^2\)
Do đó:
\(m = n - 1\)
Vì hiệu giữa hai số là \(1\left(n-m=1\right)\) , vậy hai số \(m\) và \(n\) kém nhau 1 đơn vị (dpcm)
