Câu trả lời:
3, Tìm các số nguyên dương \(\left(x;y\right)\) sao cho\(2^{x}+3^{y}+4=k^2\left(k\in\mathbb{Z}^{+}\right)\)
Xét mod 3: \(k^2\equiv2^{x}+3^{y}+4\equiv(-1)^{x}+1\pmod3\)
Do số chính phương khi chia 3 chỉ có thể dư \(0\) hoặc \(1\), nên \((-1)^x + 1\) không thể bằng \(2\) . Suy ra \(x\) phải là số lẻ.
Xét \(x=1\):
\(2+3^{y}+4=k^2\iff3^{y}+6=k^2\iff3(3^{y-1}+2)=k^2\)
Nếu \(y=1\): \(3(1 + 2) = 9 = 3^2\) (tm)
Nếu \(y \ge 2\): \(3^{y-1}+2\equiv2\pmod3\) ( k chia hết cho 3 ). Khi đó \(v_3(3^y+6) = 1\), không thể là số chính phương.
Xét \(x \ge 3\) ( số lẻ )
\(\) Vì \(x \ge 3\) nên \(2^{x}\vdots8\)
Xét mod 4: \(k^2\equiv2^{x}+3^{y}+4\equiv(-1)^{y}\pmod4\implies y\) phải là số cặp (đặt \(y = 2n\))
Xét mod 8: \(k^2=2^{x}+3^{2n}+4\equiv0+9^{n}+4\equiv1+4=5\pmod8\)
Điều này vô lý vì một số chính phương khi chia cho \(8\) chỉ có thể dư \(0\) , \(1\) hoặc \(4\) .
Vậy cặp số nguyên dương duy nhất là \((x, y) = (1, 1)\)