) Chứng minh
△
𝑂
𝐴
𝐼
=
△
𝑂
𝐵
𝐼
△OAI=△OBI
Ta có
𝑂
𝐴
=
𝑂
𝐵
OA=OB theo giả thiết.
Tia
𝑂
𝑧
Oz là tia phân giác của góc
𝑥
𝑂
𝑦
xOy, do đó, góc
∠
𝑥
𝑂
𝑧
=
∠
𝑦
𝑂
𝑧
∠xOz=∠yOz.
Cả ba điểm
𝑂
,
𝐴
,
𝐵
O,A,B đều nằm trên các tia
𝑂
𝑥
Ox và
𝑂
𝑦
Oy, và tia phân giác
𝑂
𝑧
Oz chia góc
∠
𝑥
𝑂
𝑦
∠xOy thành hai góc vuông.
Sử dụng định lý góc đối nhau bằng nhau, ta có
∠
𝑂
𝐴
𝐼
=
∠
𝑂
𝐵
𝐼
∠OAI=∠OBI vì
𝑂
𝐴
=
𝑂
𝐵
OA=OB và tia phân giác chia góc đều.
Do đó,
△
𝑂
𝐴
𝐼
=
△
𝑂
𝐵
𝐼
△OAI=△OBI theo tiêu chuẩn
Cạnh - G
o
ˊ
c - Cạnh (CGC)
Cạnh - G
o
ˊ
c - Cạnh (CGC).
b) Chứng minh
𝐴
𝐵
⊥
𝑂
𝑧
AB⊥Oz
Vì tia
𝑂
𝑧
Oz là tia phân giác của góc
∠
𝑥
𝑂
𝑦
∠xOy, nên nó chia góc này thành hai góc bằng nhau.
Do đó, khi
△
𝑂
𝐴
𝐼
=
△
𝑂
𝐵
𝐼
△OAI=△OBI, điểm
𝐼
I nằm trên tia phân giác
𝑂
𝑧
Oz, và ta có một hình thang vuông ở
𝐴
𝐵
AB.
Vậy, từ
△
𝑂
𝐴
𝐼
△OAI và
△
𝑂
𝐵
𝐼
△OBI, ta suy ra
𝐴
𝐵
AB vuông góc với tia phân giác
𝑂
𝑧
Oz.
c) Chứng minh OI vuông góc với CD tại trung điểm của CD
Kẻ đường thẳng song song với
𝐴
𝐵
AB qua điểm
𝐼
I, cắt
𝑂
𝑥
Ox tại điểm
𝐶
C và cắt
𝑂
𝑦
Oy tại điểm
𝐷
D.
Vì
𝐴
𝐵
∥
𝐶
𝐷
AB∥CD và
𝐼
I nằm trên tia phân giác
𝑂
𝑧
Oz, ta có
𝑂
𝐼
⊥
𝐶
𝐷
OI⊥CD tại trung điểm của
𝐶
𝐷
CD vì tia phân giác chia đều góc và từ đó, tính đối xứng của tam giác vuông tạo ra vuông góc tại trung điểm của đoạn thẳng
𝐶
𝐷
CD.
d) Chứng minh ba điểm
𝑂
,
𝑀
,
𝐼
O,M,I thẳng hàng
Gọi
𝑀
M là giao điểm của các đường thẳng
𝐵
𝐶
BC và
𝐴
𝐷
AD.
Để chứng minh ba điểm
𝑂
,
𝑀
,
𝐼
O,M,I thẳng hàng, ta sử dụng định lý đối xứng và sự đồng dạng của các tam giác vuông tạo thành từ các tia phân giác, đoạn thẳng song song và giao điểm của chúng.
Kết quả này được chứng minh qua tính đối xứng của hình học mà trong đó các điểm
𝑂
,
𝑀
,
𝐼
O,M,I nằm trên một đường thẳng do sự kết hợp của các đoạn thẳng và các điểm giao nhau.