a/ Xét △ABH và △ACH có:
AB = AC (GT)
AH là cạnh chung
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC} \) = 90° (AH ⊥ BC)
Suy ra △ABH = △ACH (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Do đó HB = HC (tương ứng)
b/ Xét △AHM và △AHN có:
AH là cạnh chung
\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\) = 90° (HM ⊥ AB, HN ⊥ AC)
\(\widehat{MAH}=\widehat{NAH}\) (AH là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\), do △ABC cân tại A)
Suy ra △AHM = △AHN (góc vuông - cạnh huyền - góc nhọn)
Do đó HM = HN (tương ứng)
c/Xét △AMH và △ANH có:
AM = AN (do △AHM = △AHN)
AH là cạnh chung
HM = HN (cmt)
Suy ra △AMH = △ANH (c.c.c)
Do đó \(\widehat{AMN}=\widehat{ANH}\) ( tương ứng)
Vậy △AMN cân tại A.
d/ Ta có ∠AMN = ∠ANM (cmt)
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (△ABC cân tại A)
Lại có \(\widehat{AMN}+\widehat{NMB}\) = 180° (hai góc kề bù)
\(\widehat{ANM}+\widehat{NMC}\) = 180° (hai góc kề bù)
Suy ra ∠NMB = 180° - ∠AMN
\(\widehat{NMC}\) = 180° - \(\widehat{ANM}\)
Do đó \(\widehat{NMB}=\widehat{NMC}\)
Mà \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM=}\widehat{ACB}\)
Nên \(\widehat{NMB}=\widehat{ABC}\)
Vậy MN // BC (hai góc đồng vị bằng nhau)