Khi cả hai người thực hiện dự cùng nhau thì thời gian hoàn thành là:

\(1:\left(\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{60}\right)=12\) (ngày)

Giả sử tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày may 40 áo, may trong \(x\) ngày.

Số áo theo kế hoạch: \(40x\) (chiếc)

Vì hoàn thành trước kế hoạch 2 ngày ⇒ Thời gian thực tế: \(x-2\) (ngày)

Số áo thực tế: \(\left(40+10\right)\left(x-2\right)=50\left(x-2\right)\) (chiếc)

Ta có pt: \(50\left(x-2\right)-40x=30\)

\(\Leftrightarrow10x-100=30\)

\(\Leftrightarrow x=13\) (ngày)

Số áo mà tổ phải may theo kế hoạch là: \(40x=40\cdot13=520\) (chiếc)

Thời gian hoàn thành thực tế là: \(x-2=13-2=11\) (ngày)

\(\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}-\dfrac{\sqrt{8}-\sqrt{10}}{2-\sqrt{5}}=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}=-1\)

sao lại "in the work" phải là "in the world" chớ?

\(2\sqrt{x-1}+3\sqrt{\dfrac{x-1}{3}}=4+2\sqrt{3}\)

ĐK: \(x\ge1\)

PT \(\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}+\sqrt{3^2\cdot\dfrac{x-1}{3}}=4+2\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}+\sqrt{3\left(x-1\right)}=4+2\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}\left(2+\sqrt{3}\right)=4+2\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=2\)

\(\Leftrightarrow x-1=4\)

\(\Leftrightarrow x=5\) (TM)

Vậy \(S=\left\{5\right\}\).

d) \(\sqrt{46+6\sqrt{5}}=\sqrt{45+2\cdot3\sqrt{5}+1}=\sqrt{\left(3\sqrt{5}\right)^2+2\cdot3\sqrt{5}+1}=\sqrt{\left(3\sqrt{5}+1\right)^2}=\left|3\sqrt{5}+1\right|=3\sqrt{5}+1\)

e) \(\sqrt{9+4\sqrt{2}}=\sqrt{8+2\cdot2\sqrt{2}+1}=\sqrt{\left(2\sqrt{2}\right)^2+2\cdot2\sqrt{2}+1}=\sqrt{\left(2\sqrt{2}+1\right)^2}=\left|2\sqrt{2}+1\right|=2\sqrt{2}+1\)

f) \(\sqrt{16+2\sqrt{15}}=\sqrt{15+2\sqrt{15}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{15}+1\right)^2}=\left|\sqrt{15}+1\right|=\sqrt{15}+1\)

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dương ta có:

\(\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) (1)

\(\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\ge2a+2b+2c\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\) (2)

Cộng (1) với (2)

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge12\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

Ta có: \(\left(\dfrac{a^3}{b}+ab\right)+\left(\dfrac{b^3}{c}+bc\right)+\left(\dfrac{c^3}{a}+ca\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\ge3\) (đpcm).

\(\left(\dfrac{4}{3}+x\right)^2=\dfrac{1}{2}\)

\(\sqrt{\left(\dfrac{4}{3}+x\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\)

\(\left|\dfrac{4}{3}+x\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\dfrac{4}{3}+x=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{4}{3}+x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\dfrac{4}{3}-x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{-8+3\sqrt{2}}{6}\\x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{8+3\sqrt{2}}{6}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x\in\left\{\dfrac{-8+3\sqrt{2}}{6};-\dfrac{8+3\sqrt{2}}{6}\right\}\).