Giả sử ta có:

\(\left(a+b-c\right)^2\ge a^2+b^2-c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\ge a^2+b^2-c^2\)

\(\Leftrightarrow2c^2+2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow c^2+ab-bc-ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-ca\right)-\left(bc-c^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(b-c\right)\ge0\)

Tương tự ta cũng có:

\(\left(b+c-a\right)^2\ge b^2+c^2-a^2\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(c-a\right)\ge0\)

\(\left(c+a-b\right)^2\ge c^2+a^2-b^2\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-b\right)\ge0\)

Do đó:

\(\left(a+b-c\right)^2.\left(b+c-a\right)^2.\left(c+a-b\right)^2\ge\left(a^2+b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)\left(c^2+a^2-b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a-c\right)\left(b-c\right)\right]\left[\left(b-a\right)\left(c-a\right)\right]\left[\left(c-b\right)\left(a-b\right)\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\right]^2\ge0\) (đúng)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Ta có: điều phải chứng minh

1. c. excited
2. c. part-time
3. d. wouldn't fall
4. b. since
5. a. there were
6. b. must do
7. d. Uh...uh I agree with you.
8. b. could come
9. d. till
10. b. so

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^{2021}.\left(x-2\right)^{2022}.\left(3-x\right)\ge0\\x^2+2x-3>0\\-x^2+100\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^{2021}.\left(3-x\right)\ge0\\\left(x^2+3x\right)-\left(x+3\right)>0\\-x^2\ge-100\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^{2021}\ge0\\3-x\ge0\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^{2021}\le0\\3-x\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\x\left(x+3\right)-\left(x+3\right)>0\\x^2\le100\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x\ge-1\\x\le3\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x\le-1\\x\ge3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\\left(x-1\right)\left(x+3\right)>0\\-10\le x\le10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le3\\\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x-1>0\\x+3>0\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x-1< 0\\x+3< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\-10\le x\le10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le3\\\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x>1\\x>-3\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x< 1\\x< -3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\-10\le x\le10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le3\\\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< -3\end{matrix}\right.\\-10\le x\le10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow1< x\le3\)

TXĐ \(D=(1;3].\)

a) Xét hình thang ABCD có: MA = MD, NB = NC (giả thiết)

=> MN là đường trung bình của hình thang ABCD

=> \(MN=\dfrac{AB+CD}{2}\Rightarrow AB=2MN-CD=2.6-8=4\left(cm\right)\)

b) Vì MN là đường trung bình của hình thang ABCD (chứng minh trên) => MN // AB

Xét \(\Delta ABD\) có: MA = MD (giả thiết), MP // AB (chứng minh trên) => PB = PD

Lại xét \(\Delta ABD\) có: MA = MD (giả thiết), PB = PD (chứng minh trên)

=> MP là đường trung bình của \(\Delta ABD\)

=> \(MP=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}.4=2\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) có: NB = NC (giả thiết), QN // AB (chứng minh trên) => QA = QC

Lại xét \(\Delta ABC\) có: NB = NC (giả thiết), QA = QC (chứng minh trên)

=> QN là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

=> \(QN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}.4=2\left(cm\right)\)

Ta có: MN = MP + PQ + QN = 6cm (giả thiết)

=> PQ = 6 - MP - QN = 6 - 2 - 2 = 2 (cm)

a) Xét tứ giác AEHF có: \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^o+90^o=180^o\)

=> Tứ giác AEHF nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

mà N là trung điểm của AH (giả thiết)

=> A, E, F, H cùng nằm trên đường tròn (N) 

=> \(\Delta AEF\) nội tiếp đường tròn (N) (1)

Xét tứ giác ACDF có: \(\widehat{ADC}=\widehat{AFC}=90^o\) (giả thiết)

=> Tứ giác ACDF nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

=> \(\widehat{FAD}=\widehat{FCD}\) (cùng chắn \(\stackrel\frown{FD}\)) hay \(\widehat{FAN}=\widehat{FCM}\)

Xét \(\Delta AFH\) vuông tại F có: \(FN\) là đường trung tuyến

\(\Rightarrow AN=FN=HN=\dfrac{1}{2}AH\) (định lí)

\(\Rightarrow\Delta AFN\) cân tại N (vì AN = FN)

\(\Rightarrow\widehat{FAN}=\widehat{AFN}\)

Xét \(\Delta BCF\) vuông tại F có: \(FM\) là đường trung tuyến

\(\Rightarrow BM=CM=FM=\dfrac{1}{2}BC\) (định lí)

\(\Rightarrow\Delta CFM\) cân tại M (vì CM = FM)

\(\Rightarrow\widehat{FCM}=\widehat{CFM}\)

Từ đó, suy ra: \(\widehat{AFN}=\widehat{CFM}\) (vì \(\widehat{FAN}=\widehat{FCM}\))

Mà \(\widehat{AFC}=\widehat{AFN}+\widehat{CFN}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CFM}+\widehat{CFN}=90^o\) hay \(\widehat{MFN}=90^o\) (2)

Từ (1) và (2) => MF là tiếp tuyến của (AEF)

Chứng minh tương tự, ta được: ME là tiếp tuyến của (AEF)

1. An accident was seen by the fosters last Sunday.
2. A report is being prepared for class when the lights go out by my friend.
3. Are we allowed to leave the room?
4. His car used to be cleaned on Sunday.
5. That banner has been already carried to the meeting.
6. The bus can't be caught.
7. Should the problems of transport be solved?
8. Was the door being removed by some workers?

a) Vì tứ giác ABCD là hình vuông (giả thiết) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AD=DC=2\left(cm\right)\\\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=\widehat{DCB}=90^o\end{matrix}\right.\)

Vì N là trung điểm của DC (giả thiết) \(\Rightarrow DN=\dfrac{1}{2}DC=\dfrac{1}{2}.2=1\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào \(\Delta ADN\) vuông tại D, có:

\(AN^2=AD^2+DN^2=2^2+1^2=4+1=5\Rightarrow AN=\sqrt{5}\left(cm\right)\)

b) Vì tứ giác ABCD là hình vuông (giả thiết) \(\Rightarrow AD=BC\)

Vì M là trung điểm của BC (giả thiết) \(\Rightarrow CM=\dfrac{1}{2}BC\)

Do đó: \(CM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}DC=DN\)

Xét \(\Delta ADN\) và \(\Delta DCM\) có:

\(AD=DC\) (chứng minh trên)

\(\widehat{ADN}=\widehat{DCM}=90^o\) (chứng minh trên)

\(DN=CM\) (chứng minh trên)

Do đó: \(\Delta ADN=\Delta DCM\) (cạnh.góc.cạnh)

\(\Rightarrow\widehat{DAN}=\widehat{CDM}\) qua \(\widehat{DAN}=\widehat{NDH}\)

Xét \(\Delta ADN\) và \(\Delta DHN\) có:

\(\widehat{DAN}=\widehat{HDN}\) (chứng minh trên)

\(\widehat{AND}\) chung

\(\Rightarrow\Delta ADN\) đồng dạng với \(\Delta DHN\) (góc.góc)

\(\Rightarrow\widehat{ADN}=\widehat{DHN}=90^o\)

Do đó: \(DM\perp AN\) tại H (điều phải chứng minh)

c) Vì \(\Delta ADN\) vuông tại D có đường cao DH (chứng minh trên)

\(\Rightarrow AD^2=AH.AN\Rightarrow AH=\dfrac{AD^2}{AN}=\dfrac{2^2}{\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\left(cm\right)\)

Vì M là trung điểm của BC (giả thiết) \(\Rightarrow BM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.2=1\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào \(\Delta ABM\) vuông tại B, có:

\(AM^2=AB^2+BM^2=2^2+1^2=4+1=5\Rightarrow AM=\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta AHM\) vuông tại H, có: \(cosMAH=\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}=\dfrac{4}{5}\) hay \(cosMAN=\dfrac{4}{5}\)

They are looking for the man and his dog that have lost the way in the forest.

\(A=\dfrac{x\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\left(x\sqrt{x}+1\right)+4}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)+4}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\left(x-\sqrt{x}+1\right)+\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(\sqrt{x}+1+\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}\right)-1\)

\(=\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left[\left(\sqrt{x}+1\right)+\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}\right]-1\)

Nhận thấy:

\(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\) (hiển nhiên)

\(\left(\sqrt{x}+1\right)+\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+1\right).\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}}=2\sqrt{4}=2.2=4\) (bất đẳng thức Cô-si)

Khi đó: \(A\ge0+4-1=3\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{x}+1=\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=1\\\left(\sqrt{x}+1\right)^2=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\\sqrt{x}+1=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(MinA=3\Leftrightarrow x=1\)

You can't believe David because is very untruthful.

How do we make for the fact that the temperature has suddenly dropped?