- Đầu tiên, vì các số trên cùng chữ số 1 ở hàng trăm và hàng nghìn nên ta chia chúng thành hai loại số:

+) Chung đơn vị: 

- 19

- 34, 24

- 38, 18

- 06, 26

- 07

- 05, 35

+) Chung hàng chục:

- 05, 06, 07

- 19, 18

- 24, 26

- 34, 38, 35

*Ta nhận xét rằng số 1119 và số 1107 đứng riêng lẻ trong hàng đơn vị, do đó nếu 1 trong 2 bạn được cung cấp chữ số đơn vị 9 hoặc 7 thì bạn còn lại sẽ biết mật khẩu, nhưng bạn Bình lại nói đầu tiên rằng ban đầu không biết mật khẩu là gì, nên ta loại 2 số 1107 và 1119.

Ta xét các trường hợp sau:

*TH₁: bạn Anh nói cho 1 trong 2 bạn chữ số 1 ở hàng nghìn (hàng đơn vị).

+ Nếu bạn Anh nói cho Minh thì chắc chắn cả 2 sẽ rơi vào bế tắc (vì còn 8 số có khả năng như vậy).

+ Nếu bạn Anh nói cho Bình, khi đó, bạn Bình phải nói: "Ban đầu mình...gì, nhưng mình nghĩ có thể bạn Minh sẽ biết". Vì bạn Bình chưa dám chắc bạn Minh sẽ được nói chữ số đơn vị 7 hoặc 9. Nhưng trên thực tế không phải vậy.

*TH₂: bạn Anh nói cho Bình chữ số hàng đơn vị, Minh chữ số hàng chục.

- Nếu Bình được biết chữ số đơn vị 9 hoặc 7 thì phải nói: "Tớ biết mật khẩu rồi". Mặt khác, ta có thể hiểu thêm câu nói "Tớ biết mật khẩu rồi" là "bạn Minh cũng có thể biết đấy". Nếu bạn Bình được biết chữ số 0 hoặc 1 ở hàng chục thì bạn Bình sẽ biết mật khẩu. Nhưng thực tế không như mơ.

==> Bạn Bình phải biết chữ số hàng chục 2 hoặc 3.

Vậy ta còn 5 khả năng: 1126,1124, 1134, 1135, 1138.

- Tuy nhiên, câu nói đầu tiên của Bình, ta chỉ có thể khai thác được thông tin đến đây. Ngoài ra không thể khai thác thêm được nữa.

*Bạn Minh được biết chữ số hàng chục 2 hoặc 3, tuy nhiên có trên 1 khả năng các số có các chữ số hàng chục trên, vì vậy bạn Minh không thể biết mật khẩu ngay. Nhưng thực tế lại khác.

*Vậy ta còn trường hợp cuối: bạn Anh nói cho Bình chữ số hàng chục, Minh chữ số đơn vị.

- Theo như nhận xét trên ta còn các trường hợp: 

+) Chung đơn vị: 

- 34, 24

- 38, 18

- 06, 26

- 05, 35

+) Chung hàng chục:

- 05, 06

- 18

- 24, 26

- 34, 38, 35

Để ý ta thấy số 1118 đứng riêng lẻ ở hàng chục, mà bạn Minh sau khi được cung cấp chữ số hàng chục thì biết mật khẩu.

==>Mật khẩu phải là 1118.

Điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\2-x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow0\le x\le2\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{x}\\b=\sqrt{2-x}\end{matrix}\right.\left(0\le a,b\le\sqrt{2}\right)\) \(\Rightarrow a^2+b^2=2\)

Phương trình đã cho trở thành: \(a+b+ab=3\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=2\\a+b+ab=3\end{matrix}\right.\)

Đặt \(S=a+b;P=ab\). Hệ trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}S^2-2P=2\\S+P=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S^2+2S=8\Leftrightarrow S^2+2S-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}S=2\\S=-4\end{matrix}\right.\)

*Với \(S=2\Rightarrow P=1\). Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\ab=1\end{matrix}\right.\) và:

 \(S^2-4P=2^2-4.1=0\)

Do đó a,b là 2 nghiệm của phương trình:

\(X^2-2X+1=0\Leftrightarrow X=1\)

\(\Rightarrow a=b=1\Rightarrow x=2-x=1\Leftrightarrow x=1\)

*Với \(S=-4\Rightarrow P=7\). Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-4\\ab=7\end{matrix}\right.\) và

\(S^2-4P=\left(-4\right)^2-4.7=-12< 0\)

Do đó không tồn tại giá trị a,b nào thoả mãn hệ phương trình trên.

Thử lại ta có nghiệm của phương trình đã cho là \(x=1\)

+) Bài bất đẳng thức:

\(\dfrac{2017a-a^2}{bc}=\dfrac{\left(a+b+c\right)a-a^2}{bc}=\dfrac{ab+ca}{bc}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{a}{b}\left(1\right)\)

Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2017b-b^2}{ca}=\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}\left(2\right)\\\dfrac{2017c-c^2}{ab}=\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\Rightarrow\dfrac{2017a-a^2}{bc}+\dfrac{2017b-b^2}{bc}+\dfrac{2017c-c^2}{ab}=\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\)

\(\sqrt{2}\left(\sum\sqrt{\dfrac{2017-a}{a}}\right)=\sqrt{2}\left(\sum\sqrt{\dfrac{\left(a+b+c\right)-a}{a}}\right)=\sqrt{2}\left(\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b}}+\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\right)\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge\sqrt{2}\left(\sqrt{\dfrac{a+b}{c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b}}\right)\)

*Có: \(\sqrt{2.\dfrac{a+b}{c}}+\sqrt{2.\dfrac{b+c}{a}}+\sqrt{2.\dfrac{c+a}{b}}\le\dfrac{2+\dfrac{a+b}{c}}{2}+\dfrac{2+\dfrac{b+c}{a}}{2}+\dfrac{2+\dfrac{c+a}{b}}{2}=3+\dfrac{\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}}{2}\)

Ta chỉ cần chứng minh:

\(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge3+\dfrac{\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}}{2}\)

hay \(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge6\) (cái này chị tự chứng minh nhé)

1) \(M=\dfrac{\dfrac{a^3}{b^3}-\dfrac{b^3}{a^3}+\dfrac{a^2-b^2}{ab}}{\left(\dfrac{a^2}{b^2}-\dfrac{b^2}{a^2}\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)}\) (Đk: \(a,b>0;a\ne b\))

\(=\dfrac{\left(\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}\right)\left(\dfrac{a^2}{b^2}+1+\dfrac{b^2}{a^2}\right)+\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}}{\left(\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}\right)\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)}\)

\(=\dfrac{\left(\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}\right)\left(\dfrac{a^2}{b^2}+2+\dfrac{b^2}{a^2}\right)}{\left(\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}\right)\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)}\)

\(=\dfrac{\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)^2}{\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)}\)

\(=\dfrac{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}=\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\)

2) Ta có: \(a+b=2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=a^2+\left(2-a\right)^2=2\left(a^2-2a+2\right)=2\left(a-1\right)^2+2\)

Vì a,b là các số dương phân biệt và a+b=2 nên a,b không thể đồng thời cùng bằng 1. Do đó \(\left(a-1\right)^2>0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=2\left(a-1\right)^2+2>2\)

Khi đó \(M=\dfrac{a^2+b^2}{a+b}=\dfrac{a^2+b^2}{2}>\dfrac{2}{2}=1\)

\(x+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{x^2-2x+1}{x-2}=\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x-2}\)

Để biểu thức trên không âm hay \(\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x-2}\ge0\) thì:

\(\left[{}\begin{matrix}x-2>0\\\left(x-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>2\\x=1\end{matrix}\right.\)

GỢI Ý

Bạn tự vẽ hình.

1) Gọi độ dài cạnh của hình vuông ABCD là a (\(AB=BC=CD=DA=a\))

△DCF∼△BEC (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{DF}{a}=\dfrac{a}{BE}\)

BE//CD \(\Rightarrow\dfrac{a}{BE}=\dfrac{CH}{BH}\)

DF//BC \(\Rightarrow\dfrac{DF}{a}=\dfrac{DG}{CG}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DG}{CG}=\dfrac{CH}{BH}\Rightarrow\dfrac{DG}{CH}=\dfrac{CG}{BH}=\dfrac{DG+CG}{CH+BH}=\dfrac{DC}{BC}=1\)

\(\Rightarrow DG=CH;CG=BH\)

△ADE∼△CHD \(\Rightarrow\dfrac{a}{AE}=\dfrac{CH}{a}\left(1\right)\)

△BCG∼△FAB \(\Rightarrow\dfrac{a}{AF}=\dfrac{CG}{a}\left(2\right)\)

\(\left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow a\left(\dfrac{1}{AE}+\dfrac{1}{AF}\right)=\dfrac{CH+CG}{a}=\dfrac{CH+BH}{a}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{AE}+\dfrac{AC}{AF}=\sqrt{2}\)

b) BỔ ĐỀ HÌNH THANG: Trong hình thang, đường thẳng tạo bởi giao điểm của hai đường chéo và giao điểm của hai cạnh bên thì đi qua 2 trung điểm của hai đáy.

Quay lại bài toán:

Qua O kẻ đường thẳng // với AF cắt AB, CF tại X,Y.

*Chứng minh OX=OY (dùng định lí Thales giới hạn trong các tam giác trong hình thang ABCF).

*Chứng minh K là trung điểm AF (dùng định lí Thales trong các tam giác AKE, FKE).

2) Áp dụng bất đẳng thức ở câu 1 ta có:

\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}\le\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}\le\dfrac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)

và \(\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta được:

\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{a+b+c}\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=\dfrac{1}{a+b+c}.\dfrac{a+b+c}{abc}=\dfrac{1}{abc}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.

\(\left(x^2-3x+2\right)\sqrt{\dfrac{x+3}{x-1}}=-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{15}{2}x-11\left(1\right)\)

Đk: \(\sqrt{\dfrac{x+3}{x-1}}\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>1\\x\le-3\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow-2\left(x-1\right)\left(x-2\right)\sqrt{\dfrac{x+3}{x-1}}=x^3-15x+22\)

\(\Rightarrow-2\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}.\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+2x-11\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\left(nhận\right)\\-2\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}=x^2+2x-11\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow-2\sqrt{x^2+2x-3}=\left(x^2+2x-3\right)-8\)

Đặt \(a=\sqrt{x^2+2x-3}\left(a\ge0\right)\). Từ phương trình (2) suy ra:

\(a^2+2a-8=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2\left(nhận\right)\\a=-4\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+2x-3}=2\Leftrightarrow x^2+2x-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1+2\sqrt{2}\left(nhận\right)\\x=-1-2\sqrt{2}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Thử lại ta có \(x=2\) và \(x=-1+2\sqrt{2}\) là 2 nghiệm của phương trình (1).

Cách ngắn ngọn nhất:

\(x^2-2\left(m+1\right)x+4m=0\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-2mx+4m=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)-2m\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-2m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=2m\end{matrix}\right.\)

Phương trình (1) có 2 nghiệm là \(x=2;x=2m\). Mặt khác phương trình (1) cũng có 2 nghiệm là x₁, x₂ nên ta chia làm 2 trường hợp:

TH₁: \(x_1=2;x_2=2m\).

Có \(2x_1-x_2=-2\Rightarrow2.2-2m=-2\Leftrightarrow m=3\)

TH₂: \(x_1=2m;x_2=2\)

Có \(2x_1-x_2=-2\Rightarrow2.\left(2m\right)-2=-2\Leftrightarrow m=0\)

Vậy m=0 hay m=3