a) \(a,b>0;a+b=2\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có:

\(\dfrac{1}{a^2+b}+\dfrac{1}{b^2+a}=\dfrac{1+b}{\left(a^2+b\right)\left(1+b\right)}+\dfrac{1+a}{\left(b^2+a\right)\left(1+a\right)}\le\dfrac{1+b}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{1+a}{\left(a+b\right)^2}=\dfrac{2+2}{2^2}=1\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)

b) \(a,b>0;a^2+b^2=2\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có:

\(\dfrac{1}{a^3+b^2}+\dfrac{1}{b^3+a^2}=\dfrac{a+b^2}{\left(a^3+b^2\right)\left(a+b^2\right)}+\dfrac{b+a^2}{\left(b^3+a^2\right)\left(b+a^2\right)}\le\dfrac{a+b+a^2+b^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}=\dfrac{a+b+2}{4}\le\dfrac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+2}{4}=1\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)

Hình như ở dòng cuối có gì sai sai ấy anh. Điều kiện của đề bài là \(a^2+b^2=2\) mà :'(

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^2=2y\left(1\right)\\y^3+x^2=2x\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (1)-(2), ta được:

\(x^3-y^3-\left(x^2-y^2\right)+2\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-x-y+2\right)=0\)

*Với \(x=y\). Từ (1) ta có: \(x^3+x^2-2x=0\)

Giải ra ta được: \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=1\\y=-2\end{matrix}\right.\)

*Với \(x^2+xy+y^2=x+y-2\). Đặt \(S=x+y;P=xy\).

Khi đó ta có: \(S^2-S+2=P\left(1'\right)\)

Lấy (1)+(2) ta được:

\(x^3+y^3+x^2+y^2=2\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow S^3-3SP+S^2-2P=2S\left(2'\right)\)

Thay (1') vào (2'), ta được:

\(S^3-3S\left(S^2-S+2\right)+S^2-2\left(S^2-S+2\right)=2S\)

\(\Leftrightarrow-2S^3+2S^2-6S-4=0\)

\(\Leftrightarrow S^3-S^2+3S+2=0\)

Đến đây mình bấm máy và nó ra nghiệm xấu ;)) bạn thử kiểm tra lại cách rút gọn của mình xem có gì sai sót nhé. Từ đây ta tìm được S, rồi tìm được P và sử dụng định lí Viète đảo để tính x,y nhé.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có:

\(\dfrac{1}{a^2+b}+\dfrac{1}{b^2+a}=\dfrac{1+b}{\left(a^2+b\right)\left(1+b\right)}+\dfrac{1+a}{\left(b^2+a\right)\left(1+a\right)}\le\dfrac{1+b}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{1+a}{\left(a+b\right)^2}\)

Từ điều kiện đề bài, ta có: \(\dfrac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}\ge1\Rightarrow a+b+2\ge\left(a+b\right)^2\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)

\(a,b,c,d>0;abcd=1\)

Ta có: \(\sum\dfrac{1}{a^3+b+c+d}=\sum\dfrac{\dfrac{1}{a}+b+c+d}{\left(a^3+b+c+d\right)\left(\dfrac{1}{a}+b+c+d\right)}\le^{CBS}\sum\dfrac{\dfrac{1}{a}+b+c+d}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)

\(=\sum\dfrac{bcd}{\left(a+b+c+d\right)^2}+\dfrac{3\left(a+b+c+d\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}=\sum\dfrac{bcd}{\left(a+b+c+d\right)^2}+\dfrac{3}{a+b+c+d}\)

Lại có: \(a+b+c+d\ge4\sqrt[4]{abcd}=4\Rightarrow\dfrac{3\left(a+b+c+d\right)}{16}\ge\dfrac{3}{a+b+c+d}\)

Do đó: \(\sum\dfrac{1}{a^3+b+c+d}\le\dfrac{3\left(a+b+c+d\right)}{16}+\sum\dfrac{bcd}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)

Ta có: \(bcd+cda+dab+abc=cd\left(a+b\right)+ab\left(c+d\right)\le\dfrac{\left(c+d\right)^2}{4}\left(a+b\right)+\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\left(c+d\right)\)

\(=\dfrac{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}{4}\left(a+b+c+d\right)\le\dfrac{\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}}{4}\left(a+b+c+d\right)=\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^3}{16}\)

Do đó: \(\sum\dfrac{1}{a^3+b+c+d}\le\dfrac{3\left(a+b+c+d\right)}{16}+\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^3}{16\left(a+b+c+d\right)^2}=\dfrac{a+b+c+d}{4}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)

\(a,b,c>0;a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

Ta có: \(\sum\dfrac{1}{a^3+b+c}=\sum\dfrac{\dfrac{1}{a}+b+c}{\left(a^3+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+b+c\right)}\le^{CBS}\sum\dfrac{\dfrac{1}{a}+b+c}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(=\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+2\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{3}{a+b+c}\).

Ta lại có: \(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\Rightarrow a+b+c\ge3\)

Do đó: \(\sum\dfrac{1}{a^3+b+c}\le\dfrac{3}{3}=1\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.

Ủa có gợi ý rồi thì làm dễ mà ;))

\(a,b,c>0;a+b+c=3\)

Ta có: \(\sum\dfrac{a}{a^3+b+c}=\sum\dfrac{a\left(\dfrac{1}{a}+b+c\right)}{\left(a^3+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+b+c\right)}\le^{CBS}\sum\dfrac{a\left(\dfrac{1}{a}+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{1}{9}\sum\left(1+ab+ac\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}\left(ab+bc+ca\right)\le\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}.\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=1\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Anh thấy cách của anh Thịnh có vấn đề, nên anh làm cách của anh nhé:

\(ĐKXĐ:x\ge\dfrac{2}{3}\)

Ta sử dụng phương pháp bất đẳng thức (nghĩa là ta sẽ chứng minh làm sao cho \(VT\le VP\) hoặc ngược lại với điều kiện ban đầu):

Ta để ý nghiệm của phương trình ban đầu là \(x=2\), do đó ta phải áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc sao cho điểm rơi xảy ra là 2.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\sqrt{\left(4x+1\right).9}\le\dfrac{4x+1+9}{2}=2x+5\)

\(4x\sqrt{3x-2}\le4.\dfrac{x^2+\left(3x-2\right)}{2}=2\left(x^2+3x-2\right)\)

Cộng vế theo vế ta được:

\(3\sqrt{4x+1}+4x\sqrt{3x-2}\le2x^2+8x+1\)

Mặt khác \(2x^2+8x+1\le3x^2+4x+5\) (vì khi biến đổi tương đương bất đẳng thức trên, ta được \(\left(x-2\right)^2\ge0\), đây là một đánh giá hiển nhiên đúng).

Do đó: \(3\sqrt{4x+1}+4x\sqrt{3x-2}\le3x^2+4x+5\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=2\)

Kết hợp với phương trình ban đầu, ta được \(x=2\)

Vậy \(x=2\) là nghiệm của phương trình đã cho.

\(x,y>0;x+y=2\)

\(P=\dfrac{x^2+y^2+1}{\left(2x^2+1\right)\left(2y^2+1\right)}+\dfrac{1}{xy}\)

\(=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2x^2+2y^2+2}{\left(2x^2+1\right)\left(2y^2+1\right)}+\dfrac{1}{xy}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2x^2+1}+\dfrac{1}{2y^2+1}\right)+\dfrac{1}{xy}\)

\(\ge^{CBS}\dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{2\left(x^2+y^2+1\right)}+\dfrac{1}{xy}\)

\(=\dfrac{1}{x^2+y^2+1}+\dfrac{1}{3xy}+\dfrac{2}{3xy}\)

\(\ge^{CBS}\dfrac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2+xy+1}+\dfrac{2}{3xy}\)

\(=\dfrac{4}{xy+5}+\dfrac{2}{3xy}\ge^{Cauchy}\dfrac{4}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}+5}+\dfrac{2}{3.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{4}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4/3.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có:

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left[1+2^2+\left(-2\right)^2\right]\ge\left(x+2y-2z\right)^2\)

Lại có \(9\ge x^2+y^2+z^2\) nên \(\left(x+2y-2z\right)^2\le9.9=81\)

\(\Rightarrow-9\le x+2y-2z\le9\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=9\\\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{-2}\end{matrix}\right.\)

Để biểu thức trên đạt giá trị là 9 thì: \(x=1;y=2;z=-2\)

Để biểu thức trên đạt giá trị là -9 thì: \(x=-1;y=-2;z=2\)