Cho nửa (O;R) BC là đường kính. Điểm A di động trên nửa đường tròn ( A khác B, C). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi I và K theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC.

a) Chứng minh: \(\dfrac{BI}{CK}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)

b) Chứng minh: tứ giác BIKC nội tiếp

c) Xác định vị trí điểm A để AH.BH đạt max

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, M là 1 điểm thuộc nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Kẻ tia Ax, By song song với nhau và cắt đường thẳng d theo thứ tự tại C và D.

Chứng minh: \(AC+BD\ge CD\)

\(\left(x-1\right)^3+2\left(x-1\right)^2\)

\(=\left(x-1\right)^2\left(x-1+2\right)\)

\(=\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)\)

Đặt \(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{2}=A\)

\(\Rightarrow A\sqrt{2}=\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}-\sqrt{4}\)

\(A\sqrt{2}=\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}-2\)

\(A\sqrt{2}=\sqrt{5}+1-\sqrt{5}+1-2\left(\sqrt{5}>1\right)\)

\(A\sqrt{2}=2-2=0\Rightarrow A=0\)

Xét ∆ AHO và ∆ CKO có:

\(\widehat{H}=\widehat{K}=90^o\left(gt\right)\)

\(AO=CO\left(gt\right)\)

\(\widehat{AOH}=\widehat{COK}\left(\text{đối đỉnh}\right)\)

\(\Rightarrow\text{∆}AOH=\text{∆}COK\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow OH=OK\)

\(\Rightarrow\) H đối xứng với K qua O

Cho tam giác ABC, \(\widehat{A}=90^o\). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ 2 tia Bx và Cy vuông góc với BC. Lấy I là 1 điểm trên BC, đường thẳng qua A vuông góc với AI cắt Bx và Cy lần lượt tại D và E.

\(a\text{)}\) \(\widehat{DIE}=90^o\)

\(b\text{)}\) \(M\) là giao điểm của AB với DI, N là giao điểm của AC với EI. \(CM:\) \(MN\text{/}\text{/}BC\)

Cho 2 đường tròn \(\left(O;R_1\right)\) và \(\left(O;R_2\right)\) cắt nhau tại 2 điểm I và P \(\left(R_1< R_2;O,O'\text{nằm khác phía với IP}\right)\). Kẻ 2 đường kính IE và IF tương ứng của 2 đường tròn.

\(a\text{)}CM:E,D,F\) thẳng hàng

\(b\text{)}\) Gọi K là trung điểm EF. \(CM:\) \(OFKO'\) nội tiếp

c) Tia IK cắt \(\left(O\right)\) tại B, đường thẳng vuông góc với IK tại I cắt \(\left(O\right)\) tại A. \(CM:\) \(IA=BF\)

Cho \(\left(O;\dfrac{AB}{2}\right)\) vẽ (A) cắt (O) tại 2 điểm C và D. Kẻ dây cung BN cắt (O) tại N và (A) tại E.

CMR: \(NE^2=NC.ND\)

Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của CA và BD, M là trung điểm của CD. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOD và BOC cắt nhau tại K (K khác O).

Chứng minh: \(\widehat{KOC}=\widehat{MOD}\)

Cho 2 đường tròn phân biệt bằng nhau O và O' cắt nhau tại A và B (O và O') nằm ở 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Một cát tuyến qua A cắt (O) tại C và (O') tại D. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với CD cắt (O) và (O') lần lượt tại E và F.

CMR: CEDF là hình thoi