Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Cho các vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(1;2;1\right);\overrightarrow{b}=\left(2;1;2\right);\overrightarrow{c}=\left(3;2;-1\right)\) . Tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow{a}^2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}^2\overrightarrow{a}\).

1. \(\left(53;-52;-17\right)\).
2. \(\left(53;52;-17\right)\).
3. \(\left(53;52;17\right)\).
4. \(\left(53;-52;17\right)\).

Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}\left(-1;2;-1\right);\overrightarrow{b}\left(2;-1;1\right);\overrightarrow{c}\left(-3;4;5\right)\). Vectơ\(\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\) là vectơ nào sau đây?

1. \(\overrightarrow{d}=\left(23;-27;20\right)\).
2. \(\overrightarrow{d}=\left(23;27;-20\right)\).
3. \(\overrightarrow{d}=\left(-23;-27;20\right)\).
4. \(\overrightarrow{d}=\left(-23;27;20\right)\).

Bốn vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(1;-1;2\right);\overrightarrow{b}=\left(3;2;-1\right);\overrightarrow{c}=\left(-2;3;1\right)\) và \(\overrightarrow{d}=\left(-19;4;15\right)\) thỏa mãn hệ thức nào sau đây?

1. \(\overrightarrow{d}=3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{c}\).
2. \(\overrightarrow{d}=3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\).
3. \(\overrightarrow{d}=3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{c}\).
4. \(\overrightarrow{d}=3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\).

Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left(2;-1;6\right):B\left(-3;-1;-4\right);C\left(5;-1;0\right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?

1. \(ABC\) là tam giác thường.
2. \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\).
3. \(ABC\) là tam giác vuông tại \(C\).
4. \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\).

Cho hai điểm \(A\left(2;1;1\right);B\left(-1;2;1\right)\). Xét điểm \(A'\) đối xứng của \(A\) qua \(B\). Tìm tọa độ điểm \(A'.\)

1. \(\left(4;3;3\right)\).
2. \(\left(4;-3;3\right)\).
3. \(\left(3;4;-3\right)\).
4. \(\left(-4;3;1\right)\).

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

1. Điểm đối xứng của điểm \(B\left(3;2;1\right)\) qua trục \(Ox\) là điểm \(\left(3;-2;-1\right)\).
2. Điểm đối xứng của điểm \(B\left(3;2;1\right)\) qua trục \(Oy\) là điểm \(\left(-3;2;-1\right)\).
3. Điểm đối xứng của điểm \(B\left(3;2;1\right)\) qua mặt phẳng \(Oyz\) là điểm \(\left(-3;2;1\right)\).
4. Điểm đối xứng của điểm \(B\left(3;2;1\right)\) qua trục \(Oz\) là điểm \(\left(-3;-2;-1\right)\).

Cho ba điểm \(M\left(1;1;1\right);N\left(2;0;-1\right);P\left(-1;2;1\right)\). Tìm tọa độ điểm \(Q\) sao cho \(MNPQ\) là hình bình hành. 

1. \(\left(2;3;3\right)\).
2. \(\left(2;-3;-3\right)\).
3. \(\left(2;-3;3\right)\).
4. \(\left(-2;3;3\right)\).

Tìm điểm \(M\) trên trục tọa \(Ox\) cách đều hai điểm \(A=\left(1;2;-1\right)\), \(B=\left(2;1;2\right)\).

1. \(M=\left(1;0;0\right)\).
2. \(M=\left(2;0;0\right)\).
3. \(M=\left(\dfrac{1}{2};0;0\right)\).
4. \(M=\left(\dfrac{3}{2};0;0\right)\).

Tính côsin của các góc giữa một đường chéo của hình lập phương với mỗi cạnh của nó.

1. \(\dfrac{1}{3}\).
2. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).
3. \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).
4. \(\dfrac{1}{2}\).

Cho hai điểm \(M\left(2;2;1\right),N\left(1;2;-2\right)\) . Trong bốn đường thẳng \(ON,Ox,Oy,Oz\) , đường thẳng nào tạo với đường thẳng \(OM\) góc lớn nhất?

1. \(ON\).
2. \(Ox\).
3. \(Oy\).
4. \(Oz\).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left(3;-4;0\right),B\left(-1;1;3\right),C\left(3;1;0\right).\) Tìm tọa độ điểm \(D\) trên trục hoành sao cho \(AD=BC\).

1. \(D\left(-2;0;0\right),D\left(-4;0;0\right)\).
2. \(D\left(0;0;0\right),D\left(-6;0;0\right)\).
3. \(D\left(6;0;0\right)\).
4. \(D\left(0;0;0\right),D\left(6;0;0\right)\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left(2;-4;3\right)\) và \(B\left(2;2;7\right)\). Trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) có tọa độ là

1. \(\left(1;3;2\right)\).
2. \(\left(2;6;4\right)\).
3. \(\left(2;-1;5\right)\).
4. \(\left(4;-2;10\right)\).

Trong không gian \(Oxyz\) cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(2;-5;3\right),\overrightarrow{b}=\left(0;2;-1\right),\overrightarrow{c}=\left(1;7;2\right)\). Tìm toạ độ vectơ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\).

1. \(\overrightarrow{e}=\left(0;-27;3\right)\).
2. \(\overrightarrow{e}=\left(0;-27;-3\right)\).
3. \(\overrightarrow{e}=\left(0;27;-3\right)\).
4. \(\overrightarrow{e}=\left(0;27;3\right)\).

Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(-1;1;0\right),\overrightarrow{b}=\left(1;1;0\right),\overrightarrow{c}=\left(1;1;1\right)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

1. \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}=1\).
2. \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) cùng phương.
3. \(\cos\left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{6}}\).
4. \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\).

Trong không gian cho các vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(-1;1;0\right),\overrightarrow{b}=\left(1;1;0\right),\overrightarrow{c}=\left(1;1;1\right)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

1. \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2}\).
2. \(\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{3}\).
3. \(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\).
4. \(\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}\).

Cho ba điểm \(A\left(1;0;1\right),B\left(2;1;2\right),D\left(1;-1;1\right).\) Tìm tọa độ đỉnh \(C\) của hình bình hành \(ABCD.\)

1. \(\left(0;2;0\right)\).
2. \(\left(2;0;2\right)\).
3. \(\left(1;0;1\right)\).
4. \(\left(0;2;-1\right)\).

Cho hai điểm \(A\left(2;3;4\right),B\left(-2;-2;-4\right)\). Tìm tọa độ điểm \(C\in Oy\) sao cho \(AC\perp AB\).

1. \(\left(0;-8;0\right)\).
2. \(\left(0;9;0\right)\).
3. \(\left(0;-2;0\right)\).
4. \(\left(0;11;0\right)\).

Cho hai điểm \(A\left(-1;2;-3\right),B\left(3;4;5\right).\)  Tìm tọa độ của điểm \(C\) đối xứng với \(A\) qua \(B\).

1. \(C=\left(4;2;8\right)\).
2. \(C=\left(2;2;2\right)\).
3. \(C=\left(7;6;13\right)\).
4. \(C=\left(-5;0;-11\right)\).

Cho hai điểm \(A\left(-1;2;3\right),B\left(3;4;5\right).\) Tìm tọa độ trung điểm \(I\) của  đoạn \(AB\).

1. \(I=\left(1;3;1\right)\).
2. \(I=\left(4;2;8\right)\).
3. \(I=\left(2;2;2\right)\).
4. \(I=\left(1;1;1\right)\).

Cho ba điểm \(A\left(1;-2;1\right),B\left(0;1;2\right),C\left(1;0;1\right).\) Hãy tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC.\)

1. \(G=\left(2;0;4\right)\).
2. \(G=\left(\dfrac{2}{3};0;\dfrac{4}{3}\right)\).
3. \(G=\left(0;0;0\right)\).
4. \(G=\left(1;1;1\right)\).