Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng
\(\dfrac{11}{630}\).\(\dfrac{17}{630}\).\(\dfrac{1}{105}\).\(\dfrac{1}{21}\).Hướng dẫn giải:\(\left|\Omega\right|=10!\) cách xếp chỗ 10 học sinh thành một hàng ngang.
Gọi A là biến cố: " Trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau".
Để có một kết quả thuận lợi cho biến cố A ta có thể làm như như sau:
Bước 1: Sắp thứ tự 5 học sinh lớp C: có 5! cách xếp.
Bước 2: Xếp 5 chỗ học sinh còn lại ( 2 học sinh lớp A và 3 học sinh lớp B) chèn vào giữa các bạn lớp C để 2 bạn lớp C không đứng cạnh nhau. Có các kiểu xếp như sau
- Kiểu 1a: Xếp 5 học sinh hai lớp A, B, mỗi bạn vào một ô trống trong hình sau. Kiểu này có 5! cách xếp.
| C | C | C | C | C |
- Kiểu 1b: Xếp 5 học sinh hai lớp A, B, mỗi bạn vào một ô trống trong hình sau. Kiểu này cũng có 5! cách xếp.
| C | C | C | C | C |
- Kiểu 2: Chọn 1 bạn lớp A và 1 bạn lớp B gép thành một cặp ab (hoặc ba) cùng với 3 bạn còn lại thành 4 phần tử, xếp mỗi phần tử vào một trong 4 ô trống trong hình dưới đây
| C | C | C | C | C |
+ chọn 1 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp B có 2.3 = 6 cách;
+ sắp thứ tự hai học sinh vừa chọn (2! cách);
+ xếp 4 phần tử mỗi phần tử vào một ô trống: 4! cách.
Kiểu này có 6. 2!. 4!= 12.4! cách xếp.
Do đó tổng cộng số khả năng thực hiện bước 2 là \(2.5!+12.4!\)
Theo quy tắc nhân, số khả năng thực hiện cả 2 bước là \(5!\left(2.5!+12.4!\right)\)
Xác suất cần tính là \(P\left(A\right)=\dfrac{5!\left(2.5!+12.4!\right)}{10!}=\dfrac{11}{630}\)
