Với \(n\ne\pm1\), hãy tìm các nghiệm của phương trình \(\frac{x-1}{n-1}+\frac{2n^2\left(1-x\right)}{n^4-1}=\frac{2x-1}{1-n^4}-\frac{1-x}{1+n}\)
\(x=\frac{4}{3}\).\(x=\dfrac{-2n^3-2n^2-2n+1}{4}\).\(x=\frac{4}{5}\).\(x=\dfrac{n^3-2n^2+2n+1}{4}\).Hướng dẫn giải:Phương trình đã cho tương đương với
\(\dfrac{x-1}{n-1}+\dfrac{2n^2\left(x-1\right)}{1-n^4}=\dfrac{2x-1}{1-n^4}+\dfrac{x-1}{n+1}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{n-1}-\dfrac{x-1}{n+1}+\dfrac{2n^2\left(x-1\right)-2x+1}{1-n^4}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{\left(n+1\right)\left(x-1\right)-\left(n-1\right)\left(x-1\right)}{n^2-1}-\dfrac{\left(2n^2-2\right)x-2n^2+1}{n^4-1}=0\)\(\Leftrightarrow\dfrac{2x+2n}{n^2-1}=\dfrac{\left(2n^2-2\right)x-2n^2+1}{n^4-1}\)
\(\Leftrightarrow\left(n^2+1\right)\left(2x+2n\right)=\left(2n^2-2\right)x-2n^2+1\) \(\Leftrightarrow4x=-2n^3-2n^2-2n+1\) .
Phương trình có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{-2n^3-2n^2-2n+1}{4}\).