Với giá trị nào của tham số m thì phương trình \(x^3-3mx+2=0\) có nghiệm duy nhất?
\(m=1\). \(m\le0\). \(0< m< 1\). \(m< 1\). Hướng dẫn giải:Ta thấy \(x=0\) không phải là nghiệm nên biến đổi phương trình về dạng:
\(\Leftrightarrow\frac{x^3+2}{3x}=m\)
Đặt \(f\left(x\right)=\frac{x^3+2}{3x}\) ta lập bảng biến thiên của f(x).
\(f'\left(x\right)=\frac{2}{3}\frac{x^3-1}{x^2}\)
Ta có: \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^3+2}{3x}=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\left(\frac{x^2}{3}-\frac{2}{3x}\right)=+\infty\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\frac{x^3+2}{3x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(\frac{x^2}{3}+\frac{2}{3x}\right)=-\infty\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\frac{x^3+2}{3x}=+\infty\)
Vậy ta có bảng biến thiên sau:
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình \(f\left(x\right)=m\) có nghiệm duy nhất khi \(m< 1\).