Viết phương trình mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) đi qua điểm \(A\left(1;2;-1\right)\) và vuông góc với hai mặt phẳng
\(\left(P\right):\) \(2x+y=0\) , \(\left(Q\right):\) \(x-z-1=0.\).
\(x-2y-2z-1=0\) \(x-2y+z+4=0\) \(2x-y-z-1=0\) \(x+y+z-2=0\) Hướng dẫn giải:\(\left(P\right),\left(Q\right)\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{p}\left(2;1;0\right),\overrightarrow{q}\left(1;0;-1\right)\).
\(\left(\alpha\right)\perp\left(P\right),\left(\alpha\right)\perp\left(Q\right)\) nên \(\left(\alpha\right)\) có cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow{p}\left(2;1;0\right),\overrightarrow{q}\left(1;0;-1\right)\).
\(\left(\alpha\right)\) có vecto pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&2\\-1&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&1\\1&0\end{matrix}\right|\right)=\left(-1;2;-1\right)\)
Phương trình \(\left(\alpha\right)\) qua \(A\left(1;2;-1\right)\)và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(-1;2;1\right)\) là:
\(-1\left(x-1\right)+2\left(y-2\right)-\left(z+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-x+2y-z-4=0\)
\(\Leftrightarrow x-2y+z+4=0\)
