Viết phương trình hypebol (H) đi qua điểm \(A\left(\frac{3}{\sqrt{5}};-\frac{4}{\sqrt{5}}\right)\) và A nhìn hai tiêu điểm \(F_1;F_2\) trên trục Ox dưới một góc vuông.
\(x^2-\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{4}-y^2=1\) \(4x^2-y^2=1\) \(x^2-4y^2=1\) Hướng dẫn giải:Phương trình chính tắc của (H) có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) và có hai tiêu điểm \(F_1\left(-c;0\right),F_2\left(c;0\right)\) trong đó \(c=\sqrt{a^2+b^2}\). Theo giả thiết, tam giác \(AF_1F_2\) là tam giác vuông tại \(A\) có \(AO\) là trung tuyến thuộc cạnh huyền và bằng nửa cạnh huyền, tức là
\(c=OA=\sqrt{\dfrac{9}{5}+\dfrac{16}{5}}=\sqrt{5}\Rightarrow c^2=5\Rightarrow a^2+b^2=5\Rightarrow b^2=5-a^2\) (điều kiện: \(a^2< 5\) ) (*)
Do sso (H) có phương trình \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{5-a^2}=1\). Giả thiết (H) qua \(A\left(\frac{3}{\sqrt{5}};-\frac{4}{\sqrt{5}}\right)\) có nghĩa là
\(\dfrac{9}{5a^2}-\dfrac{16}{5\left(5-a^2\right)}=1\Leftrightarrow9\left(5-a^2\right)-16a^2=5a^2\left(5-a^2\right)\Leftrightarrow5a^4-50a^2+45=0\Leftrightarrow a^2=1,a^2=9\). Do điều kiện (*) suy ra \(a^2=1\) nên phương trình chính tắc của (H) là \(x^2-\dfrac{y^2}{4}=1\).
Đáp số: \(x^2-\dfrac{y^2}{4}=1\)