Viết phương trình chính tắc hyperbol (H) có tâm O, một tiêu điểm là (0;5) và đi qua \(N\left(-2;\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)\)
\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=-1\) \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\) \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=-1\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) Hướng dẫn giải:
Vì (0;5) là tọa độ một tiêu điểm (H) có trục thực nằm trên Oy, do đó (H) có phương trình chính tắc dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1\) và \(c=5\) ,
\(a^2+b^2=c^2=25\Rightarrow b^2=25-a^2\). Từ đó phương trình của (H) là \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{25-a^2}=-1\). Vì (H) qua điểm \(N\left(-2;\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)\) nên
\(\dfrac{4}{a^2}-\dfrac{45}{4\left(25-a^2\right)}=-1\Leftrightarrow16\left(25-a^2\right)-45a^2=-4a^2\left(25-a^2\right)\Leftrightarrow4a^4-39a^2-400=0\Leftrightarrow a^2=16\) và \(a^2=-\dfrac{100}{16}\) (loại).
Vậy phương trình chính tắc của (H) là \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=-1\).
Đáp số: \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=-1\)