Viết phương trình chính tắc của hyperbol (H) có hai trục đối xứng là Ox, Oy, các tiêu điểm nằm trên trục hoành, tâm sai \(e=\frac{5}{3}\) và đi qua điểm \(M\left(5;-\frac{16}{3}\right)\).
\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1\) \(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1\)Hướng dẫn giải:
Vì hypebol nhận Ox, Oy làm trục đối xứng, các tiêu điểm nằm trên trục hoành nên hypebol có phương trình chính tắc dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Tâm sai \(e=\dfrac{5}{3}\Rightarrow e^2=\dfrac{25}{9}\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{a^2}=\dfrac{25}{9}\Rightarrow b^2=\dfrac{16a^2}{9}\). Phương trình hypebol trở thành \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{9y^2}{16a^2}=1\).
Vì hypebol qua \(M\left(5;-\frac{16}{3}\right)\) nên \(\dfrac{25}{a^2}-\dfrac{16^2}{16a^2}=1\Leftrightarrow\dfrac{9}{a^2}=1\Leftrightarrow a^2=9\). Phương trình chính tắc của hypebol: \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1\)
Đáp số: \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1\).
