Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left(2;2;1\right);B\left(-\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3}\right)\). Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác \(OAB\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left(OAB\right)\) có phương trình là
\(\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z+1}{2}\).\(\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-8}{-2}=\dfrac{z-4}{2}\).\(\dfrac{x+\dfrac{1}{3}}{1}=\dfrac{y-\dfrac{5}{3}}{-2}=\dfrac{z-\dfrac{11}{6}}{2}\).\(\dfrac{x+\dfrac{2}{9}}{1}=\dfrac{y-\dfrac{2}{9}}{-2}=\dfrac{z+\dfrac{5}{9}}{2}\).Hướng dẫn giải:\(\overrightarrow{OA}=\left(2;2;1\right);\overrightarrow{OB}=\left(-\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3}\right)\) \(\Rightarrow OA=3;OB=4\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right]=4\left(1;-2;2\right)\)
Gọi \(D\left(x;y;z\right)\) là giao điểm của phân giác góc \(\widehat{BOA}\) và \(AB\).
Ta có \(\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow\overrightarrow{AD}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BD}.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=-\dfrac{3}{4}\left(x+\dfrac{8}{3}\right)\\y-2=-\dfrac{3}{4}\left(y-\dfrac{4}{3}\right)\\z-1=-\dfrac{3}{4}\left(z-\dfrac{8}{3}\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=\dfrac{12}{7}\\z=\dfrac{12}{7}\end{matrix}\right.\Rightarrow D\left(0;\dfrac{12}{7};\dfrac{12}{7}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{BD}=\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{8}{21};-\dfrac{20}{27}\right)\Rightarrow BD=\dfrac{20}{7}\).
Gọi \(I\left(x;y;z\right)\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
Ta có \(\dfrac{OI}{DI}=\dfrac{OB}{DB}=\dfrac{7}{5}\Rightarrow\overrightarrow{OI}=-\dfrac{7}{5}\overrightarrow{DI}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{7}{5}x\\y=-\dfrac{7}{5}\left(y-\dfrac{12}{7}\right)\\z=-\dfrac{7}{5}\left(z-\dfrac{12}{7}\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\\z=1\end{matrix}\right.\Rightarrow I\left(0;1;1\right)\)
Vậy đường thẳng đã cho đi qua \(I\left(0;1;1\right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left(1;-2;2\right)\).
Vậy để chọn đáp số đúng trong 4 đáp số đã nêu, ta cần xét xem các đường thẳng cho trong các đáp số đó có vectơ chỉ phương cùng phương với \(\overrightarrow{u}=\left(1;-2;2\right)\) và tọa độ \(I\left(0;1;1\right)\) có thỏa mãn hay không. Từ đó ta thấy đáp số đúng là \(\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z+1}{2}\).
