Trên hyperbol (H) : \(x^2-\frac{y^2}{4}=-1\) có 4 điểm mà tại đó tiếp tuyến của (H) tạo với trục hoành góc \(60^0\). Tìm tọa độ 4 điểm đó .
\(\left(\sqrt{3};4\right);\left(\sqrt{3};-4\right);\left(-\sqrt{3};4\right);\left(-\sqrt{3};-4\right)\) \(\left(4;\sqrt{3}\right);\left(4;-\sqrt{3}\right);\left(-4;\sqrt{3}\right);\left(-4;-\sqrt{3}\right)\) \(\left(\sqrt{3};2\right);\left(\sqrt{3};-2\right);\left(-\sqrt{3};2\right);\left(-\sqrt{3};-2\right)\) \(\left(2;\sqrt{3}\right);\left(2;-\sqrt{3}\right);\left(-2;\sqrt{3}\right);\left(-2;-\sqrt{3}\right)\) Hướng dẫn giải:Các đường thẳng tạo với trục hoành một góc \(60^0\) là và chỉ là các đường thẳng tạo với chiều dương trục hoành một góc \(\pm60^0\), các đường thẳng này có hệ số góc bằng \(\pm\sqrt{3}\) .
Tiếp tuyến tổng quát của \(x^2-\dfrac{y^2}{4}=-1\Leftrightarrow\dfrac{y^2}{4}-x^2=1\) có phương trình \(\dfrac{y_0y}{4}-x_0x=1\) trong đó \(\left(x_0;y_0\right)\) là tọa độ tiếp điểm. Tiếp tuyến này có hệ số góc bằng \(\dfrac{4x_0}{y_0}\) và phải bằng \(\pm\sqrt{3}\) tức là \(\dfrac{4x_0}{y_0}=\pm\sqrt{3}\Leftrightarrow y_0=\pm\dfrac{4x_0}{\sqrt{3}}\) (1).
Mặt khác, tiếp điểm phải thuộc hypebol nên \(x_0^2-\dfrac{y_0^2}{4}=-1\) (2). Thế (1) vào (2) ta có
\(x_0^2-\dfrac{4x_0^2}{3}=-1\Leftrightarrow x_0=\pm\sqrt{3}\)
Thế \(x_0=\pm\sqrt{3}\) trở lại (1) ta được 4 tiếp điểm của các tiếp tuyến tạo với Ox một dóc \(60^0\) là: \(\left(\sqrt{3};\pm4\right),\left(-\sqrt{3};\mp4\right)\)
Đáp số: \(\left(\sqrt{3};4\right),\left(\sqrt{3};-4\right)\left(-\sqrt{3};4\right);\left(-\sqrt{3};-4\right)\)
