Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(3\sqrt{2}a\), cạnh bên bằng \(5a\).
\(R=a\sqrt{3}\).\(R=a\sqrt{2}\).\(R=\dfrac{25a}{8}\).\(R=2a\).Hướng dẫn giải:
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên đáy \(ABCD\) là hình vuông (theo giả thiết có cạnh \(3\sqrt{2}a\)), giao điểm \(O\) của hai đường chéo \(AC,BD\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) và là hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống mặt phẳng đáy. Cạnh bên hình chóp là \(SA=5a.\)
Ta có \(OA=AB\dfrac{\sqrt{2}}{2}=3a\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=3a.\) Trong tam giác vuông \(SOA\) có
\(SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{\left(5a\right)^2-\left(3a\right)^2}=4a\).
Vì \(SO\) là trục đối xứng của hình chóp \(S.ABCD\) nên mặt phẳng \(\left(SAC\right)\) qua tâm hình cầu ngoại tiếp hình chóp, do đó bán kính \(R\) của hình cầu này cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SAC\). Gọi \(E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(SAC\) (cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\)) thì \(R=EA=ES,EO=SO-ES=4a-R\). Trong tam giác vuông \(EOA\) có \(R^2=OA^2+EO^2=\left(3a\right)^2+\left(4a-R\right)^2\) hay \(8aR=25a^2\Leftrightarrow R=\dfrac{25a}{8}\).
