Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số \(y=\dfrac{x+1}{\sqrt{mx^2+1}}\) có hai tiệm cận ngang.
Không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu của đề bài.\(m< 0\).\(m=0\).\(m>0\).Hướng dẫn giải:Khi \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y\) hoặc \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y\) tồn tại thì đồ thị có tiệm cận ngang, vì khi hai giới hạn này cùng tồn tại và khác nhau thì đồ thị của có hai tiệm cận ngang khác nhau.
Ta có:
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x+1}{\sqrt{mx^2+1}}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}\sqrt{mx^2+1}}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}\left(mx^2+1\right)}}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{\sqrt{m+\dfrac{1}{x^2}}}\)
(chú ý khi đưa $1/x$ vào trong căn ở mẫu số, \(x\rightarrow+\infty\) ; $x$ dương)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y\) \(=\dfrac{1}{\sqrt{m}}\)
Để có \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y\) thì m > 0.
Tương tự
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x+1}{\sqrt{mx^2+1}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1+\frac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}\sqrt{mx^2+1}}\)
Với chú ý là \(x\rightarrow-\infty\) có nghĩa là \(x< 0\), đưa \(\dfrac{1}{x}\) vào trong căn ở mẫu số trong giới hạn trên ta có (chú ý: với \(a< 0\) thì \(a=-\sqrt{a^2}\))
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{-\sqrt{\dfrac{1}{x^2}\left(mx^2+1\right)}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{-\sqrt{m+\dfrac{1}{x^2}}}\)
=> \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=-\dfrac{1}{\sqrt{m}}\)
Để \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y\) tồn tại thì \(m>0\).
Để đồ thị của y có hai tiệm cận ngang khác nhau thì điều này luôn xảy ra với \(m>0\).
Vậy \(m>0\) thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang khác nhau.
